Professeur
Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique
CNRS UMR 6083 (Tours)
Fédération Denis Poisson - FR CNRS 2964
Faculté des Sciences et Techniques
Université François Rabelais
Parc de Grandmont
37200 TOURS, France
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Recherche
Thèmes de recherche:
Combinatoire Algébrique.
Ma thématique générale de recherche est centrée sur la combinatoire algébrique. Elle se décline en trois axes principaux:
1: Théorie des représentations: il s'agit d'étudier les aspects combinatoires et algébriques de la théorie des représentations des groupes de Coxeter, des groupes et algèbres de Lie ainsi que de leurs déformations comme les groupes quantiques et les algèbres de Hecke. Si le cas où le corps de base est de caractéristique nulle est désormais bien compris, de nombreux aspects fondamentaux de la la théorie des représentations modulaires restent encore largement énigmatiques. Par ailleurs, la théorie des groupes quantiques initiée au début des années 90 a fait apparaître énormément de nouveaux objets (cristaux de Kashiwara, base canoniques de Kashiwara-Lusztig, modules de kirillov-reshetikhin etc.) dont l'étude est très active. Noter que via le théorème d'Ariki, il existe un lien étroit entre les bases canoniques en type A affine et la théorie des représentations modulaires du groupe symétrique.
2: Interactions entre la théorie des représentations et la théorie des probabilités: Il s'agit par exemple de déterminer la loi de certaines marches aléatoires dont les pas sont les poids d'une représentation, conditionnées à rester dans un cône particulier (chambre de Weyl). Ces problèmes sont reliés à la détermination de fonctions harmoniques sur des graphes dont les sommets sont indexés par des poids dominants dans l'esprit des travaux de Kerov et Vershik sur les fonctions harmoniques du graphe de Young. Noter que les méthodes probabilistes permettent, dans le sens inverse, d'obtenir en théorie des représentations des comportements asymptotiques de multiplicités tensorielles qui semblent difficiles à atteindre par des méthodes purement algébriques. Elles font également apparaître des phénomènes de stabilité sur les chemins de Littelmann.
3: Théorie additive des nombres et généralisations: Le dernier axe de mes recherches concerne l'extension de résultats de théorie additive des nombres à des groupes ou des structures algébriques plus générales que l'anneau des entiers. Il peut s'agir de groupes non nécessairement abéliens, de corps ou d'algèbres. Dans le cas d'un groupe multiplicatif G, on cherche à obtenir des estimations pour le cardinal d'un ensemble produit AB où A et B sont deux parties de G (par exemple en utilisant les théorèmes de Kneser, Kemperman ou Ruzsa). Pour les corps ou les algèbres, c'est la dimension de l'espace vect(AB) engendré par les produits de AB que l'on cherche à estimer en fonction de celles de vect(A) et vect(B). Noter que les deux problèmes sont reliés via la notion d'algèbre de groupe et que, très souvent, l'étude du cas linéaire permet de retrouver les résultats sur les groupes. Les travaux que j'ai effectués dans cette direction ont permis d'établir des analogues linéaires de théorèmes dus à Kneser, Kemperman et Ruzsa établis dans le contexte des groupes.
Je suis l'un des membres du projet ACCORT "Combinatoire Algébrique en Théorie des représentations" 2012-2016 financé par l'Agence Nationale de la recherche
Je suis aussi membre du projet MADACA Marches Aléatoires et processus de Dunkl: Approches Combinatoire et Algébrique" 2013-2016 financé par la région centre
Prépublications ou articles à paraître:
1:Théorie des représentations:
Nous montrons que certaines bijections définies par Losev entre les modules simples de la catégorie 0 des algèbres de Cherednik coincident avec des isomorphismes de cristaux qui peuvent être calculés par une procédure combinatoire simple portant sur les multipartitions de rang fixé.
Nous montrons que la correspondance de Springer modulaire, définie géométriquement par D. Juteau, possède une description combinatoire simple en termes de symboles de Lusztig lorsque la caractéristique est différente de 2. Le cas de la caractéristique 2 est résolu ( voir ici sur ArXiv) par P. Achar, H. Henderson, D. Juteau et S. Riche.
2: Interactions entre la théorie des représentations et la théorie des probabilités
Nous définissons des distributions de probabilité centrales sur les chemins de Littelmann et montrons qu'elles coincident avec celles que nous avons déjà utilisées dans nos précédents travaux. Nous établissons alors une loi des grands nombres et un théorème limite centrale pour la transformation de Pitman généralisée. Nous étudions ensuite des fonctions harmoniques sur les graphes multiplicatifs définis à partir des puissances tensorielles d'une représentation de dimension finie fixée d'une algèbre de Lie. Enfin, nous montrons qu'il existe un inverse pour la transformation de Pitman généralisée définie presque sûrement sur les trajectoires infinies qui restent dans la chambre de Weyl.
Nous calculons la t-frontière de Martin des marches aléatoires de petits pas tuées sur le bord du quart de plan. Notre approche est uniforme en t et montre qu'il y a trois régime possibles pour le frontière de Martin.
À toute representation irréducible de dimension finie d'une algèbre de Lie simple est associé un graphe multiplicatif dans le sens de Kerov et Vershik défini à partir de la décomposition en irréductible de ses puissances tensorielles. Le conditionnement de chemins de Littelmann à rester dans leur chambre de Weyl est alors contrôlé par les mesures centrales sur ce type de graphe. Dans cet article, nous caractérisons toutes les mesures centrales sur ces graphes et expliquons comment elles peuvent être facilement paramétrées par le polytope des poids de la représentations considérée. Nous obtenons aussi une paramétrisations explicite de ce polytope par les dérives des chemins de Littelmann aléatoires.
3: Théorie additive des nombres et généralisations:
Dans cet article, nous adaptons des méthodes provenant de la combinatoire additive des groupes à l'étude de sous-espaces dans des algèbres associatives. Nous établissons en particulier pour ces algèbres des analogues des théorèmes de Kneser sur les ensembles sommes et de Tao sur les ensembles à double restreint. Au passage, nous classifions les algèbres associatives de dimension finie sur un corps infini ayant un nombre fini de sous-algèbres. Ces algèbres jouent un rôle crucial dans notre version linéaire du théorème de Kneser. Nous exliquons également comment les théorèmes sur les groupes que nous généralisons peuvent être facilement déduits de nos résultats appliqués sur les algèbres de groupes sans utiliser d'arguments de correspondance de Galois.
Publications :
La plupart des versions préliminaires de mes articles sont sur arXiv. Pour toute demande particulière, n'hésitez pas à m'écrire.
Versions de mes publications disponibles sur arXiv
Voir également le site de Mathscinet pour des références complètes
Etudiants en thèse :
Thomas Gerber a soutenu sa thèse en juillet 2014"Ensembles basiques généralisés pour les groupes de réflexions complexes à Tours (en co-direction avec Nicolas Jacon). La thèse à déjà donné lieu à trois articles disponibles sur la page de Thomas : ici . Il est actuellement Postdoc à Aachen.
Vivien Despax a démarré sans thèse "Marches aléatoires conditionnées à rester dans les chambres de Weyl avec dérive quelconque à Tours (en co-direction avec Olivier Durieu) en octobre 2013.
Quelques Liens vers Les pages de mathématiciens co-auteurs
S. Ariki: University of Osaka, V. Beck: Université d'Orléans, S. Eliahou: ULCO Calais, J. Guilhot: Université de Tours, N. Jacon: Université de Reims, D. Juteau: Université de Caen, C. Lénart: Suny University, Albany E. Lesigne: LMPT Tours, M. Okado: University of Osaka, M. Peigné: LMPT Tours, K. Rashel: LMPT Tours, M. Shimozono: Virginia Tech. K. Sorlin: Université d'Amiens.Responsabilités
Porteur de projet et responsable depuis juillet 2016 de la Fédération de Recherche Denis-Poisson regroupant le laboratoire de mathématiques et physique théorique de Tours (LMPT) avec le laboratoire de mathématiques analyse, probabilités et modélisation (MAPMO) d'Orléans .
Membre de la Commission Scientifique et du Conseil Académique de l'université François Rabelais.
Coordinateur de l'axe d'algèbre du LMPT de Tours axe Algèbre dans le LMPT.
Membre du conseil du LMPT et de celui de la Fédération Denis Poisson (Orléans-Tours).
Enseignement
M2 et Préparation à l'agrégation :
Consulter la page de Christine Georgelin pour plus d'information sur les préparations dispensées à Tours et Orléans.Page de la préparation à l'agrégation
Quelques cours de niveau M1 ou M2 [ M1 Arithmetique ] [ pdf ] [ Examen juin 2016 ] [ pdf ] [ Examen janvier 2017 ] [ pdf ] [ Examen janvier 2015 ] [ pdf ][ M1 Algèbre Commutative ] [ pdf ] [ M2 Théorie des Représentations ] [ pdf ] [ M2 Complèments d'Algèbre Linéaire ] [ pdf ] Un cours de niveau doctorat à l'interaction entre thérorie des représentations et probabilités [ Marches aléatoires conditionées ] [ pdf ]
Parcours License (2014-2015):
L1 Tronc commun
L2 Analyse
L3 Algèbre
Quelques Liens non mathématiques indispensables
Office du tourisme de la Hague
Le site du Champsaur-Valgaudemar
Galerie d'art: pour s'évader lorsque la fuite vers l'un des endroits ci-dessus n'est plus possible
Le site des perles noires: pour rester prudent
Citations: pour briller sans peine en société
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