Amaury MOUCHET
novembre 1996
Le chaos quantique désigne l'étude quantique des systèmes dont le comportement classique est chaotique. En simplifiant à l'extrême, on peut dire qu'il se dégage deux << philosophies >> complémentaires pour tâcher de comprendre la physique de tels systèmes. La première est analogue à celle des physiciens qui, il y a un siècle, ont introduit la notion d'ensemble statistique afin de décrire les propriétés thermodynamiques macroscopiques d'un système dont le comportement microscopique était incommensurablement complexe à cause du grand nombre de degrés de liberté impliqués. La démarche dont on connaît le succès, consiste à s'affranchir d'une information microscopique, de toute façon inessentielle, en substituant au manque d'information des lois de probabilité ne reflétant qu'un petit nombre de propriétés pertinentes. On gagne ainsi en universalité ce que l'on perd en complexité. La théorie des matrices aléatoires s'appuie sur la même idée : ce n'est pas le détail microscopique des hamiltoniens mis en jeu qui est important, mais plutôt leurs symétries globales. L'une des grandes réussites de cette théorie est d'avoir montré qu'en imposant un petit nombre de contraintes sur une distribution supposée aléatoire des éléments de matrice de ces hamiltoniens, on pouvait rendre compte de certaines propriétés universelles caractérisant la nature chaotique ou intégrable des systèmes complexes [Pour une introduction sur l'application de la théorie des matrices aléatoires au chaos quantique, on pourra se reporter au cours de [18] et, pour une approche plus historique, à [75]].
Le second angle d'attaque consiste à se placer plus explicitement
à << l'interface >> entre
théorie classique et quantique. Le régime, appelé semiclassique,
dans lequel ces deux théories se recouvrent, correspond à des systèmes
dont les actions mises en jeu sont beaucoup plus grandes que la constante
de Planck 
.
Contrairement à ce qui se produit en comparant
théories (classiques) relativiste et non relativiste où les
comportements des observables quand la vitesse de la
lumière 
sont bien définis,
la limite semiclassique 
est hautement singulière et reflète
la dichotomie qu'il y a entre nos visions classique et quantique [voir à
ce sujet l'excellente introduction << Theories as limits of other theories >>
du cours de [9]]. La motivation
des théories semiclassiques est justement d'établir des ponts entre ces
deux dernières et c'est dans ce cadre que se situe le travail
présenté dans cette thèse. Auparavant, esquissons brièvement
un tableau de la physique semiclassique.
De prime abord la mécanique classique a évidemment fourni
les premiers points d'ancrage aux
pionniers fondateurs des théories
quantiques. Si le principe de correspondance, énoncé dans sa version
quasi-définitive par Bohr [37, §3.2,],
apparaissait somme toute assez naturel puisque le monde
macroscopique -- défini par un régime d'actions infiniment
plus grandes que --
restait décrit correctement par la théorie classique,
les règles
empiriques de quantification proposées essentiellement par
Sommerfeld [37, §3.1,] n'étaient pas, quant à elles,
sans soulever de nombreuses difficultés. Difficultés théoriques
d'une part puisque, même en ce qui concernait les systèmes
où elles permettaient de reproduire correctement les
raies des atomes hydrogénoïdes,
ces règles ne s'appuyaient pas sur une justification
satisfaisante.
Difficultés pratiques d'autre part, puisqu'une formulation
générale faisait cruellement défaut.
Plus précisément, dans la théorie dite de Bohr-Sommerfeld
décrivant les états liés d'un système
à un degré de liberté,
on maintenait les équations d'évolution classiques pour les variables
canoniques (p,q) mais on ne
conservait parmi leurs solutions que celles
telles que
où T est la période du mouvement classique. La généralisation de cette règle aux systèmes séparables multidimensionnels proposée par Sommerfeld, Wilson, Schwarzschild et Epstein [37, §3.1,] en imposant la condition (1) pour chaque degré de liberté restait trop restrictive et de surcroît introduisait un système privilégié de coordonnées dans l'espace des phases. [31] [[56, pour une mise en relief moderne de ce travail,]voir] a montré que l'on pouvait lever cette dernière difficulté et généraliser les règles précédentes en imposant des conditions de quantification portant des invariants intégraux :
où D est le nombre de degrés de liberté. Ces conditions
s'appliquent non seulement
aux systèmes séparables mais en fait dès que l'évolution
dans l'espace des phases reste bornée et intégrable.
Dans ce cas, en vertu du théorème de
Liouville [5, §49,], l'espace des phases est
feuilleté en tores labellés par les D constantes du
mouvement 
.
Pour chaque valeur de C, on peut choisir une famille quelconque
de D
lacets tracés
sur chaque tore associé à C et
homotopiquement distincts. Les valeurs de C
quantiquement observées sont alors telles que les
conditions (2)
soient toutes réalisées et ne sont donc
sélectionnées que par valeurs discrètes. Le grand mérite de cette
formulation était que non seulement elle élargissait la classe des
systèmes
quantifiables mais qu'en outre elle était explicitée dans un langage
géométrique, c'est à dire
indépendant du système de coordonnées choisi dans l'espace des phases.
Cependant, et Einstein lui même le soulignait, une telle formulation
perdait son sens pour quantifier des systèmes non intégrables et notamment
les systèmes ergodiques qui, par ailleurs, jouaient un rôle crucial
dans les
fondements de la physique statistique microcanonique.
Si, on le voit, les premiers balbutiements de la mécanique quantique
consistaient essentiellement à ne retenir parmi les solutions
classiques qu'un nombre discret d'entre elles
au moyen de conditions ad hoc dépendant de , les approches
ultérieures -- dues d'une part à Heisenberg, Born et
Jordan [37, §5.1,] [70, part. II,] qui les ont
formulées dans
un langage matriciel et, d'autre part, à De Broglie
et Schrödinger [37, §5.3,]
où le statut ondulatoire de la théorie fut
définitivement établi -- s'écartaient drastiquement des concepts
classiques tant par la nature des observables que par leur interprétation.
La seule référence à la théorie classique dans la formulation de
[28], unifiant mécanique matricielle et ondulatoire, était
une formulation plus quantitative du principe de correspondance à savoir
un ensemble de règles plus ou moins ambiguës permettant de construire les
observables quantiques
à partir de leurs analogues classiques. Le statut de la physique classique
pour décrire le monde microscopique
a basculé d'autant plus vite vers un rôle apparemment secondaire qu'est
apparue très tôt la nécessité d'introduire des observables,
les spins, n'ayant aucun analogue classique. Malgré tout, un bon nombre
d'approches, dont les méthodes introduites par Born et Oppenheimer
en 1927 [49, vol.2, chap XVIII, §16,]
représentent la meilleure illustration, continuaient à méler de manière
quelque peu hybride observables classiques et observables quantiques.
Ces bouleversements théoriques ont donné une nouvelle
ampleur à la question de savoir comment la démarche
classique pouvait être justifiée aux échelles macroscopiques à
partir de la théorie quantique.
En effet, il ne s'agissait plus alors
d'affirmer simplement que l'on retrouvait la continuité classique
dès lors que les écarts entre
valeurs autorisées des invariants
intégraux devenaient négligeables en même temps que ,
mais il fallait désormais
donner un sens à la limite semiclassique des solutions de
l'équation de Schrödinger. La difficulté essentielle,
qui est à l'origine de
l'ensemble des théories semiclassiques, est que
cette équation ne se prète
pas à une approche perturbative quand .
Cela peut s'interpréter physiquement de la façon suivante :
même si l'on peut, en vertu du comportement des inégalités
d'Heisenberg quand ,
donner un sens à un << état initial classique >>
en fixant simultanément la position et l'impulsion du système et
s'assurer grâce au théorème
d'Ehrenfest
[24, chap. III §D.1.d,]Voir par exemple
que les valeurs
moyennes des observables suivent les lois du mouvement classique,
l'étalement du paquet d'onde au cours du temps détruit en général
l'état classique lorsque l'on regarde l'évolution du système
pendant un temps suffisamment long 
. Pourvu que l'on maîtrise bien
l'ordre des limites et 
, on est cependant capable de
construire des états quantiques
dont la dynamique revêt indiscutablement certains aspects classiques.
Depuis
l'introduction des premiers états cohérents par Schrödinger
en 1927, un large
travail s'est étendu autour des
représentations des états dans l'espace des phases ainsi que de
leur évolution temporelle [57, 36].
Ce domaine de recherche reste encore
en pleine activité et a permis de développer
des outils efficaces permettant de mieux comprendre une vaste gamme
de phénomènes notamment en optique quantique.
En outre, la découverte des cicatrices [36, §7.3,]voir
par exemple,
c'est à dire des états stationnaires quantiques
localisés au niveau des orbites périodiques classiques,
a renforcé encore plus
la conviction que la mécanique classique restait un guide incontournable.
Une approche complémentaire due à [39], [44], [20] et [76] fut de construire directement des solutions approchées de l'équation de Schrödinger en utilisant des techniques eikonales développées hors du contexte quantique par Debye en particulier [37, §5.3,]. L'idée sous-jacente de la théorie (J)WKB est d'obtenir la mécanique classique comme approximation de la mécanique quantique quand la longueur d'onde de De Broglie est petite devant les échelles classiques de la même façon que l'on retrouve l'optique géométrique à partir de l'optique ondulatoire quand la longueur d'onde de la lumière est infime. En écrivant une solution de l'équation Schrödinger sous la forme
où A et S sont deux fonctions lisses de leurs arguments, on peut en effet
montrer que, sous des hypothèses très larges et
lorsque , S vérifie l'équation de Hamilton-Jacobi
du problème classique associé et représente
donc en première approximation une action classique. Plus précisément,
décrit un fluide de particules classiques indépendantes et les
densités de particules et de courant de ce fluide en chaque point de l'espace
sont à tout instant respectivement égales à la densité de
probabilité et de courant de probabilité de la particule quantique en
ce point [49, chap. VI,].
En outre, [21] et, bien plus tard
mais sur des bases plus solides [40],
ont montré par ces techniques
que les conditions
aux limites imposées par un potentiel intégrable et confinant
sur les fonctions d'onde (3) conduisaient aux
contraintes d'Einstein (2) qui deviennent donc des
équations non plus exactes mais semiclassiques (appelées
équations EBK).
Le bon accord entre (2) et l'expérience dans bon nombre de
situations
justifient donc l'approximation WKB. Un autre résultat semiclassique,
qui suit les travaux précédents, est dû à [71]
qui donne une
approximation non pas des fonctions d'onde mais des propagateurs de
l'équation de Schrödinger. Si U(t) dénote l'opérateur d'évolution
du système au temps t, son élément de matrice entre le
bra 
et le ket 
est approximativement donné par
quand . La somme porte sur toutes les trajectoires
classiques 
reliant q' à q en un temps t et 
représente l'action classique le long de considérée comme
fonction de ses extrémités. 
est un entier dépendant
uniquement du
nombre et de la dimension des caustiques du flot hamiltonien classique
rencontrées par .
On arrive ainsi au c 
ur de la problématique moderne des théories
semiclassiques.
La limite de quantités construites à partir des états quantiques
est singulière quand et cette singularité se traduit
par des termes oscillants à une fréquence proportionnelle à 
comme on le voit sur (3) et (4).
On est conduit alors à s'interroger sur la possibilité de
généraliser des expressions comme celle obtenue par Van Vleck
qui, pour fixé mais petit devant les actions classiques,
permet de calculer dans une excellente approximation
une quantité quantique à partir de et d'ingrédients
uniquement classiques. Il reste étonnant qu'il ait fallu attendre
quarante ans pour que les travaux précurseurs de Jeffreys,
Kramers, Brillouin, Wentzel et Van Vleck se trouvent considérablement
enrichis tant par
une meilleure compréhension de la dynamique quantique et classique
que par un élargissement de leurs domaines d'applications.
Les travaux de Maslov [48] ont donné à
l'approximation semiclassique des
fondements mathématiques plus rigoureux notamment en contrôlant mieux
les erreurs induites par des substituts de la forme (3). Plus
précisément, Maslov
a montré que les amplitudes des termes rapidement oscillant pouvaient
chacune
s'écrire comme un développement
asymptotique en puissances de dont le terme dominant conduit à
l'interprétation semiclassique WKB rappelée ci-dessus.
En outre, la formulation de Feynman
de la mécanique quantique [32], inspirée directement
du principe de Huygens-Fresnel [5, §46,]la
discussion de ce principe
dans le contexte de la mécanique classique peut-être trouvée dans
à la suite d'une remarque de Dirac,
permet de mieux comprendre d'un point de
vue physique pourquoi la dynamique classique structure au moins partiellement
la dynamique quantique. En effet, on peut souvent écrire
une quantité quantique 
comme résultat d'une interférence entre chemins de l'espace
des phases appartenant à un ensemble 
mais
non contraints de vérifier un principe de moindre action.
Par exemple,
où 
est une << mesure >> de Feynman définie sur
l'ensemble
.
F et W sont deux fonctionnelles des chemins [p(t),q(t)] et
F dépendant de façon lisse de .
Les contributions principales à
l'intégrale (5) proviennent du bord de mais
aussi des chemins de où
la phase W est stationnaire, c'est
à dire que l'on sélectionne ainsi dans les solutions 
classiques qui rendent W extrémal. La mise en uvre explicite
de l'approximation de la phase stationnaire conduit donc à un développement
du type
où 
représente la contributions des termes de bord.
et les amplitudes A sont des fonctions
de au moins continues au voisinage de 0.
En ne conservant que les termes d'ordre dominant en ,
on retrouve alors
le développement (4)
puisque dans ce cas les termes de bords sont absents
et que 
où H est le hamiltonien classique associé à la dynamique quantique
définie par U.
Les développements asymptotiques de Maslov s'obtiennent en poussant
formellement l'approximation de la phase stationnaire à tous les ordres
en .
La deuxième quantité quantique à avoir été calculée
semiclassiquement est la fonction N(E) qui compte le nombre de niveaux
d'énergie inférieure à E pour un système lié. La densité
de niveaux d'énergie s'obtient par 
qui
s'exprime en fonction du spectre 
par
le peigne de Dirac :
De façon plus générale, la détermination
du spectre d'un opérateur différentiel est un problème central dans
maints domaines de la physique [7]voir
l'introduction de
et son comportement asymptotique
pour de grands vecteurs d'onde fournit déjà bon nombre d'indications
précieuses.
Dans le cas de N(E) et de 
on peut montrer que les termes de bords
sont non seulement présents mais qu'en outre ils dominent les contributions
oscillantes à la limite
semiclassique.
À l'ordre le plus élevé, 
s'obtient en divisant le volume
dans l'espace des phases de la couche d'énergie E
par le
volume d'occupation minimal d'un état individuel autorisé par les
inégalités d'Heisenberg. Si D est le nombre de degrés de liberté
et H le hamiltonien classique, alors
2
Le premier résultat de ce genre a été obtenu par Weyl
pour le spectre du Laplacien dans un domaine compact. La dynamique
classique associée correspond alors à une particule libre rebondissant
spéculairement sur les parois du domaine, autrement dit à la dynamique
à l'intérieur d'un billard.
Le problème de Weyl a été abondamment étudié et
élargi [7].
Notamment on a cherché à obtenir et à interpréter les ordres suivants
du développement asymptotique semiclassique de qui dans
le cas du billard bidimensionnel
dépendent essentiellement
de sa forme (longueur du périmètre, genre, etc.). La généralisation
de ces résultats donne lieu encore à de nombreuses questions
ouvertes [30]Voir par exemple.
Si l'on veut non seulement rendre compte du comportement moyen de Q mais
également des fluctuations oscillantes 
,
on a vu qu'une
connaissance de la structure des trajectoires classiques
s'imposait.
Or, le comportement de la dynamique classique
d'un système dépend avant tout du nombre de constantes du mouvement
impliquées : si dans le cas intégrable les trajectoires dans l'espace des
phases s'organisent en famille réparties sur les tores de Liouville
décrits plus haut, on sait depuis [58] que
génériquement ces structures régulières sont absentes de
l'espace des phases. On comprend alors pourquoi les sommes
intervenant dans l'expression semiclassique de 
dépendent de manière cruciale du caractère intégrable ou chaotique
de la dynamique classique associée au problème quantique initial.
Le premier calcul semiclassique de
a été obtenu par [35] qui a donné
une expression explicite de 
en termes des seules
structures invariantes
présentes dans l'espace des phases lorsque la dynamique est complètement
chaotique : les orbites périodiques classiques.
Le développement analogue lorsque le système est intégrable
est dû à BERRY et
TABOR [12, 13] qui ont montré que
les orbites
classiques qui interviennent dans (6) se regroupent
sur les tores sélectionnés précisément par les conditions
d'Einstein (2) .
Un grand
nombre de travaux, théoriques, numériques et
expérimentaux [34, 22]voir par exemple
ont confirmé la pertinence de ces approches semiclassiques
qui apportent à
la théorie un support << intuitif >> classique permettant
d'éclairer des notions souvent difficiles à saisir quantiquement.
De nombreux domaines sont directement
concernés, en particulier la physique atomique
à petits degrés de liberté [atome d'hydrogène en champ
magnétique [27],
atome d'hélium [77]],
la physique nucléaire [67]par exemple
ainsi que celle des agrégats [19].
La reconstruction de quantités quantiques à partir d'ingrédients
classiques s'accompagne de difficultés considérables qui ne sont
à ce jour que partiellement maîtrisées et ce, d'autant plus
que les multiples développements de la théorie des systèmes
dynamiques [8, 46, 47, 50]
ont révélé la complexité des solutions des
équations classiques d'où a d'ailleurs émergé la notion moderne
de chaos.
Tout d'abord les travaux
initiés par [58], [43],
[3] et [52] ont montré que
génériquement
les trajectoires classiques, même dans les cas
proches de l'intégrabilité,
s'organisent en structures mélant de façon fractale
la dynamique régulière et la dynamique chaotique. Ce régime qualifié
de mixte rend extrêmement délicate l'écriture explicite
de (6) et a fortiori son calcul numérique.
En effet, la présence de nombreuses bifurcations dès qu'une
perturbation est introduite modifie drastiquement le nombre et la nature
des trajectoires sur lesquelles porte la somme.
Or, par opposition au comportement extrêmement
singulier de la dynamique classique,
on s'attend à ce que le caractère ondulatoire quantique lisse
les détails aux
échelles plus petites que la longueur d'onde de De Broglie.
Il est donc clair qu'il faille raffiner l'approche originelle de Gutzwiller
si l'on veut espérer décrire semiclassiquement
la régularité de la transition chaotique/intégrable
au niveau quantique. C'est dans ce riche contexte que s'inscrivent
de multiples travaux comme ceux de [54],
de [68] ainsi que le chapitre II du présent
mémoire.
Les situations où la dynamique est complètement
chaotique [billards de Sinai, de Bunimovich [78, 41, ainsi que leurs
références, dans le contexte
classique et semiclassique respectivement.,]voir,
dynamique sur une surface à courbure
négative constante [15], etc.] permettent
d'éviter les écueils provenant
des régions correspondant à un régime mixte.
En effet, dans ce cas les orbites
périodiques sont isolées et stables par
perturbation,
les amplitudes associées à chacune d'entre elles dans la formule
de Gutzwiller ne divergent donc pas. En revanche, le nombre de termes
oscillants reste en général prohibitif car
la détermination des longues trajectoires est souvent extrêmement
difficile.
Un moyen de surmonter ces obstacles est de travailler avec
des systèmes dont les équations d'évolution classique
sont bien maîtrisées (billards, systèmes pulsés, dynamique
symbolique, fonction 
de Riemann etc.).
La présence d'un codage, même approximatif, permet parfois de
dresser un inventaire des contributions oscillantes suffisant pour obtenir
des résultats satisfaisants.
Un grand pas dans la compréhension de ces problèmes a été fait
par [73] et [11]
qui ont montré que dans le cas complètement chaotique
on pouvait resommer l'ensemble des termes correspondant à
de longues périodes car ces derniers contiennent une information
redondante vis a vis de celle déjà présente dans les autres termes
y compris les termes de Weyl [10]. Dans le cas intégrable,
on peut formuler des conditions exactes de quantification de type WKB
en mettant à profit là aussi des
propriétés de résurgence [72, 74].
De façon générale, à cause des propriétés analytiques des
fonctions mises en jeu, il faut s'attendre à ce qu'un sous-ensemble
des trajectoires classiques code, de manière le plus souvent très subtile
et mal comprise,
une partie de l'information totale.
Comme l'ont d'ailleurs montré BALIAN et
BLOCH [6, §3,§4 et §12,],
l'inclusion de solutions complexes aux
équations classiques dans les sommes (6) permet de
retrouver semiclassiquement sinon toute, une bonne partie de l'information
quantique pour des valeurs arbitraires de .
Cette information peut s'exprimer sous la forme de
nombreuses propriétés a priori
très profondément ancrées au niveau quantique. C'est le cas
notamment de l'effet tunnel qui par définition reste inaccessible
à une approche purement classique.
Pour retrouver les
effets qui bien qu'exponentiellement petits jouent souvent
un rôle déterminant, on peut comprendre pourquoi les formules
habituelles de Gutzwiller sont insuffisantes : Elles ne contiennent pas de
termes décroissant exponentiellement avec de façon explicite.
En revanche l'inclusion de
trajectoires complexes permet de décrire correctement l'effet tunnel
et reste souvent le seul moyen de le calculer effectivement.
Si la formulation WKB permettait déjà de retrouver semiclassiquement
l'effet tunnel pour un degré de liberté [45, §50,], sa généralisation
à de plus grandes dimensions reste délicate surtout en présence
de chaos [17, 69, 25, 26, et leurs
références.,]Pour
des travaux récents dans ce domaine on pourra
consulter.
D'autres effets quantiques sans analogue classique font l'objet de nombreuses recherches semiclassiques. Les phénomènes ondulatoires liés à la diffraction [55, 59]On pourra par exemple consulter, entrent dans cette catégorie ainsi que le déphasage des fonctions d'onde lors d'une variation adiabatique des paramètres classiques pilotant un système, par exemple constitué des électrons externes d'une molécule dans le cadre de l'approximation de Born-Oppenheimer. Ce déphasage d'abord étudié quantiquement et systématisé par Berry n'est compris classiquement que dans le cas de systèmes intégrables. Peu de travaux [61, 38] encore concernent l'étude de la phase de Berry pour des systèmes génériquement chaotiques. Cependant dans de nombreux cas, une approximation semiclassique apparaît comme le seul moyen possible de calculer explicitement ces phases.
Les succès des approches semiclassiques a suscité l'espoir d'élargir plus encore leurs domaines d'application, par exemple en sortant du cadre des systèmes liés et en essayant de décrire des propriétés attachées aux phénomènes de diffusion [66, 29]. Les motivations ont des origines très diverses puisque l'on touche alors aussi bien aux mécanismes réactionnels entre molécules [51] qu'aux problèmes de conduction dans les solides. Dans ce dernier cas, la nature du désordre joue un rôle crucial et notamment en ce qui concerne des phénomènes mal expliqués comme la localisation [33, et ses références,]. Comme l'effet tunnel cette dernière semble en profond désaccord avec la prédiction classique. La confrontation entre les méthodes actuelles permettant de comprendre et de prédire la localisation [22, Part one: Classical chaos and quantum localisation,] et le point de vue semiclassique [63, 64] apparaît donc comme très prometteur. En outre les progrès de la physique des matériaux semiconducteurs ont permis la réalisation expérimentale de potentiels à bords durs à l'échelle mésoscopique rendant ainsi possible la construction de billards électroniques bidimensionnels dont les applications technologiques sont prometteuses. De façon générale, les méthodes semiclassiques s'appliquent naturellement aux systèmes mésoscopiques puisque l'on entend par là des objets dont l'échelle est, d'une part, suffisamment petite (de l'ordre du micron) pour que les effets ondulatoires gouvernent leur comportement mais, d'autre part, suffisamment grande devant l'échelle atomique. [Le cours des Houches [1] fournit un éventail très complet de la physique mésoscopique].
Depuis peu, s'est ouvert un autre domaine de prédilection pour les
démarches semiclassiques. En effet le développement de
la physique atomique à très basse température permet
de travailler avec des systèmes cohérents
assez grands (de l'ordre de 
atomes
pour fixer les idées) dont on contrôle raisonnablement la dynamique.
Les atomes froids fournissent alors un moyen particulièrement adapté pour
mieux comprendre et tester les idées
semiclassiques [62, et ses références,].
Il reste, on le constate, beaucoup à faire concernant l'application des méthodes semiclassiques en chaos quantique. L'étude des connexions les liant à d'autres approches tout aussi fructueuses comme la théorie des matrices aléatoire mérite d'être encore plus approfondie [16], en particulier à la suite des travaux récents [2, et ses références,].
Le passage à un nombre de degrés de liberté supérieur à celui considéré habituellement revêt également un intérêt particulier puisque l'on connaît mal l'analogue quantique de la réduction de Poincaré [14, 60]. En outre, il serait intéressant entre-autre, d'étudier les implications quantiques, si elles existent, de la diffusion d'[4]. On ignore aussi dans quelle mesure les empreintes que peut laisser le chaos classique en théorie quantique des champs pourraient être pertinentes.
