Le modèle de Turing
Physiquement les tâches sont des régions où le poil est d'une autre couleur.
Des cellules pigmentaires particulières, les
mélanocytes, déterminent la couleur du poil. Ces cellules se
trouvent dans la couche la plus profonde de l'épiderme et
produisent un pigment, la mélanine, qui migre dans les poils.
Chez les mammifères, il existe essentiellement deux sortes de mélanine : l'eumélanine qui donne un poil noir ou brun et
la phaeomélanine qui donne un poil jaune ou roux.
On pense que la production de melanine est déterminée par un
système d'activateurs et d'inhibiteurs chimiques que Turing [3]
appelait morphogènes.
Le modèle de Turing fait partie
de la grande famille des modèles de réaction-diffusion.
On considère deux morphogènes qui réagissent l'un avec l'autre
et diffusent à des vitesses variables :
- quand la diffusion n'est pas un paramètre essentiel (dans un milieu fortem
ent brassé par exemple) les deux morphogènes
réagissent et atteignent un état d'équilibre uniforme ;
- quand les morphogènes diffusent à des vitesses égales,
toute hétérogénéité initiale est progressivement atténuée et
on atteint encore un état d'équilibre uniforme ;
- quand les vitesses de diffusion sont différentes,
la diffusion peut être destabilisatrice. En certains points
la réaction est trop lente pour homogénéiser le milieu : une
petite perturbation peut être instable et engendrer un
motif.
On suppose qu'un des morphogènes est un activateur qui fait produire une mélanine (l'eumélanine par exemple) aux mélanoncytes et que l'autre est un inhibiteur qui bloque la secrétion de ce pigment. Si les réactions augmentent les concentrations locales en activateur et produisent simultanément l'inhibiteur, un ilôt de
concentration élevée en activateur apparaîtra au centre d'une
région de forte concentration en inhibiteur si ce dernier
diffuse plus vite que l'activateur : ceci créera une tâche !
La modélisation
Mathématiquement [2] la description des étapes initiales de la
formation des motifs par des mécanismes de réaction-diffusion
ressemble à la description de la vibration des plaques minces :
quand la surface est très petite, elle n'entretient pas les vibrations et les
perturbations disparaissent rapidement.
Le rôle de la forme du domaine apparaît nettement quand le
domaine est très étroit et que les seuls modes de vibration
sont simples (essentiellement dans une seule dimension)
seules des bandes (ou des anneaux) apparaissent. Des
motifs à deux dimensions n'apparaissent que dans des domaines
suffisamment larges et longs ; ainsi un cylindre conique peut
présenter des motifs variés, soit zébrés soit tachetés.
Figure:
Comparaison des résultats du modèle (à droite de chaque figure) aux motifs de
la queue du léopard (à gauche), de celle du jaguar et du guépard (au centre)
et celle de la genette (à droite).
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Examinons l'exemple du léopard, du guépard, du jaguar et de la genette : les
tâches du léopard vont presque jusqu'au bout de la queue ; les queues du guépard et du jaguar comportent des zones différement rayées et la queue de la genette est
totalement rayée. Ces motifs sont précisément ceux qu'indique
le modèle compte-tenu de la structure embryonnaire des ces
quatre animaux. Avant la naissance, la queue du léopard est
fortement conique et assez courte : on s'attend à ce que les tâches
aillent jusqu'au bout de la queue ; au contraire la queue de
l'embryon de genette est quasi cylindrique et très fine de
sorte que les tâches ne peuvent apparaître.
Certains motifs n'apparaissent pas en raison d'effets de taille
et de forme des embryons : un animal tacheté peut avoir une
queue rayée, mais un animal rayé ne peut avoir une queue
tachetée.[1]
Si la taille du modèle animal est trop petite, aucun motif
n'apparaît ; puis, lorsque la taille augmente des structures
plus variées et des tâches plus nombreuses apparaissent. Les
extrémités fines (pattes, queues) conservent toutefois leur
motif rayé, mais lorsque le domaine est très grand, la structure du motif est
si fine que le pelage redevient presque de
couleur uniforme.
Plus de détails
mathématiques.
Une simulation numérique
Les boîtes combinées à droite permettent de choisir la forme du domaine et d'indiquer ou modifier les valeurs de xpas et
gamma, soit en tapant directement une valeur (et en validant avec la touche ENTREE), soit à l'aide des flèches haut et bas ; les valeurs seront prises en compte lorsque le tracé sera
relancé à l'aide du bouton Start.
- Corps : carré de 96x96 (unité xpas) Queue : rectangle de 18x96 (unité xpas)
- Vous ne pouvez changer de modèle que lorsque
le programme est arrété (à l'aide du bouton textsf{Stop})
- xpas
- Bien que le paramètre \textsf{xpas} détermine la taille physique du domaine,
celle-ci reste fixe à l'écran.
- gamma
- Pour une explication de ce paramètre voir ici
Les boutons en bas
- Start
-
affiche, dans une fenêtre
distincte, les premières valeurs de m et n pour lesquels lambda(k²)
est positif. Dès que cette fenêtre est fermée la simulation démarre.
On calcule et affiche l'évolution du motif
correspondant.
- Stop
- Le bouton \textsf{Stop} interrompt le calcul : par exemple pour
rentrer de nouveaux paramètres ou choisir un nouveau modèle. Sinon le
programme s'arrête de lui-même lorsque le temps atteint la valeur 25.