\documentclass[12pt]{article}
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\newtheorem{theorem}{Théorème}
\newtheorem{exo}{Exercice}
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\begin{document}
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%v2.0\par\noindent
%\today
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\begin{center}
\begin{Large}
{\bf  L'équation de diffusion  avec conditions aux limites Robin}
\end{Large}
\vskip1truecm
Stam Nicolis\footnote{E-Mail: stam.nicolis@idpoisson.fr; stam.nicolis@lmpt.univ-tours.fr}

{\sl Institut Denis Poisson, 
Université de Tours, Université d'Orl\'eans, CNRS (UMR7013)\\
Parc Grandmont, Tours 37200, France}

\end{center}

\vskip1truecm

\begin{abstract}
On étudie les propriétés de l'équation de diffusion, lorsque l'on impose des conditions aux limites Robin. On se concentre plus particulièrement au cas où le terme de réaction est de la forme $\beta(x)\phi(x,t)$ et l'on montre comment l'équation de diffusion, dans ce cas, peut être transformée en équation de Schrödinger en temps imaginaire.
\end{abstract}
%\end{titlepage}
%\newpage
\section{Introduction}\label{intro}
On cherche à résoudre l'équation de diffusion
\begin{equation}
\label{diffusion}
\frac{\partial\phi}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial x}\left( D\frac{\partial\phi}{\partial x} + \beta \phi\right)
\end{equation}
pour $x\in[0,L]$. On doit imposer une  condition initiale et des conditions aux limites.
\begin{itemize}
\item {\em Conditions initiales}:
\begin{equation}
\label{initcond}
\begin{array}{lcl}
\displaystyle
\phi(x,0)=F(x) & & 
\end{array}
\end{equation}
\item {\em Conditions aux limites}:
\begin{equation}
\label{Robinbc}
\begin{array}{lcl}
\displaystyle
\phi(0,t)+\gamma\frac{\partial\phi}{\partial x}(0,t)=0 & \mathrm{et} &
\displaystyle
\phi(L,t)+\gamma\frac{\partial\phi}{\partial x}(L,t)=0 
\end{array}
\end{equation}
\end{itemize}
où $\gamma$ est une constante, qui a, nécessairement, les dimensions d'une longueur. Les conditions~(\ref{Robinbc}) s'appellent les conditions aux limites (homogènes) de Robin. 

Il est utile de reformuler le problème en employant des expression sans dimensions--ainsi l'on pourra résoudre tout problème de cette classe. 

On pose, ainsi, 
\begin{equation}
\label{dimanalyse}
\begin{array}{lclcl}
\displaystyle
u\equiv \frac{x}{L} &, &
\displaystyle
\tau\equiv t\frac{D}{L^2}&, &
\displaystyle
\Gamma\equiv\frac{\gamma}{L}
\end{array}
\end{equation}
Les quantités, $u,\tau$ et $\Gamma$ sont sans dimensions. 

Le problème prend, alors, la forme suivante:
\begin{theorem}
\label{Soldiffeq}
La solution de l'équation
\begin{equation}
\label{diffusion1}
\frac{\partial\phi}{\partial \tau}=\frac{\partial^2\phi}{\partial u^2}+\frac{\beta L}{D}\frac{\partial\phi}{\partial u}
\end{equation}
avec condition initiale
\begin{equation}
\label{initcond1}
\begin{array}{lcl}
\displaystyle
\phi(u,0)=F(u) &  & 
\end{array}
\end{equation}
et conditions aux limites 
\begin{equation}
\label{Robinbc1}
\begin{array}{lcl}
\displaystyle
\phi(0,\tau)+\Gamma\frac{\partial\phi}{\partial u}(0,\tau)=0 &\mathrm{et} &
\displaystyle
\phi(1,\tau)+\Gamma\frac{\partial\phi}{\partial u}(1,t)=0 
\end{array}
\end{equation}
existe et elle est unique.  
\end{theorem}
L'idée est d'exprimer $\phi(u,\tau)$ comme combinaison linéaire des fonctions propres de l'opérateur $-d^2/du^2$, qui satisfont les mêmes conditions aux limites. 

On doit, alors, trouver fonctions propres et valeurs propres de cet opérateur. 

\section{Le problème spectral pour $-d^2/du^2$ avec conditions aux limites Robin}
La solution générale de l'équation
\begin{equation}
\label{Robinspec}
-\frac{d^2}{du^2}f=\lambda f\Leftrightarrow \frac{d^2}{du^2}f+\lambda f = 0
\end{equation}
pour $u\in[0,1]$ est donnée par l'expression
\begin{equation}
\label{solspec}
f(u)=Ae^{\mathrm{i}u\sqrt{\lambda}}+Be^{-\mathrm{i}u\sqrt{\lambda}}
\end{equation}
On impose, maintenant, les conditions aux limites
\begin{equation}
\label{Robinbc2}
f(0)+\Gamma f'(0)=0=f(1)+\Gamma f'(1)
\end{equation}
et l'on obtient le système d'équations suivantes pour les coefficients $A$ et $B$:
\begin{equation}
\label{ABeqs}
\begin{array}{l}
\displaystyle
A\left(1+\mathrm{i}\Gamma\sqrt{\lambda}\right)+B\left(1-\mathrm{i}\Gamma\sqrt{\lambda}\right)=0\\
\displaystyle
A\left(1+\mathrm{i}\Gamma\sqrt{\lambda}\right)e^{\mathrm{i}\sqrt{\lambda}}+B\left(1-\mathrm{i}\Gamma\sqrt{\lambda}\right)e^{-\mathrm{i}\sqrt{\lambda}}=0
\end{array}
\end{equation}
C'est un système homogène, par conséquent, la condition pour qu'il possède un nombre infini de solutions est
\begin{equation}
\label{eigenvalues}
\left|
\begin{array}{cc}
1+\mathrm{i}\Gamma\sqrt{\lambda} & 1-\mathrm{i}\Gamma\sqrt{\lambda}\\
\left(1+\mathrm{i}\Gamma\sqrt{\lambda}\right)e^{\mathrm{i}\sqrt{\lambda}} & \left(1-\mathrm{i}\Gamma\sqrt{\lambda}\right)e^{-\mathrm{i}\sqrt{\lambda}}
\end{array}
\right|=\left(1+\Gamma^2\lambda\right)\left(e^{\mathrm{i}\sqrt{\lambda}}-e^{-\mathrm{i}\sqrt{\lambda}}\right)=0
\end{equation} 
qui est satisfaite, lorsque $\lambda=-1/\Gamma^2$ ou $\lambda_n=n^2\pi^2$, avec $n$ entier. On ne sait pas, encore, si $n=0$ est une valeur possible. 

On note que l'ensemble de ces valeurs est discret, comme l'on pouvait s'attendre pour un opérateur défini sur un espace compact. 

Les fonctions propres correspondantes peuvent être déterminées en imposant les conditions~(\ref{ABeqs}), pour les valeurs de $\lambda$ approrpiées; bien entendu, les deux équations n'étant pas, alors, indépendantes, il suffit d'en imposer une. 

Ainsi l'on trouve, pour $\lambda = -1/\Gamma^2$, que 
\begin{equation}
\label{negevalueeigenf}
A\left(1+\mathrm{i}\Gamma\sqrt{-\frac{1}{\Gamma^2}}\right)+
B\left(1-\mathrm{i}\Gamma\sqrt{-\frac{1}{\Gamma^2}}\right)=0
\end{equation}
ce qui implique que la fonction propre correspondante est donnée par l'expression
\begin{equation}
\label{negeigenf}
f_\ast(u)=A_\ast e^{-u/|\Gamma|}
\end{equation}
où $A_\ast$ est un coefficient qui sera déterminé en imposant la normalisation de la fonction propre. 

Pour $\lambda=n^2\pi^2$, on trouve que 
\begin{equation}
\label{posevaleigenf}
A\left(1+\mathrm{i}\Gamma n\pi\right)+
B\left(1-\mathrm{i}\Gamma n\pi\right)=0\Leftrightarrow A=-B\frac{1-\mathrm{i}\Gamma n\pi}{1+\mathrm{i}\Gamma n\pi}=-B\left(\frac{1-\Gamma^2n^2\pi^2}{1+\Gamma^2n^2\pi^2}-\mathrm{i}\frac{2\Gamma n\pi}{1+\Gamma^2n^2\pi^2}\right)=-Be^{-\mathrm{i}\theta_n}
\end{equation}
avec $\tan(\theta_n/2)=\Gamma n\pi$. 

Par conséquent, la fonction propre correspondante est donnée par l'expression
\begin{equation}
\label{poseigenf}
f_n(u)=-B\left(e^{\mathrm{i}\left(-\theta_n+n\pi u\right)}-e^{-\mathrm{i}n\pi u}\right)=-Be^{-\mathrm{i}\frac{\theta_n}{2}}\left(e^{\mathrm{i}\left(n\pi u-\frac{\theta_n}{2}\right)}-
e^{-\mathrm{i}\left(n\pi u-\frac{\theta_n}{2}\right)}\right)=A_n\sin\left(n\pi u-\frac{\theta_n}{2}\right)
\end{equation}
où $A_n$ est le coefficient de normalisation. 

L'on note que, pour $n=0$, $f_0(u)\equiv 0$, par conséquent, il n'y a pas de valeur propre 0. 

\begin{exo}
\label{exonormneg}
Le coeffcient $A_\ast$ est déterminé par la condition
\begin{equation}
\label{Astar}
\int_0^1\,du\,\left[f_\ast(u)\right]^2=1.
\end{equation}
Trouver son expression. 
\end{exo}
\begin{exo}
\label{exonormpos}
Les coefficients $A_n$, $n=1,2,\ldots$ sont déterminés, chacun, par la condition
\begin{equation}
\label{An}
\int_0^1\,du\,\left[f_n(u)\right]^2=1
\end{equation}
Trouver l'expression pour $A_n$, comme fonction de $n$ et $\theta_n$.
\end{exo}
\begin{exo}
Montrer que les fonctions, $f_\ast(u)$ et $f_n(u)$, avec les préfacteurs calculés lors des exercices précédents, sont orthogonales:
\begin{equation}
\label{orthoeigenf}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\int_0^1\,du\,f_\ast(u)f_n(u)=0\,\hskip1truecm \forall n\in\mathbb{N}\\
\displaystyle
\int_0^1\,du\,f_n(u)f_m(u)=\delta_{mn}
\end{array}
\end{equation}
\end{exo}
(On note que ces exercices sont le mêmes pour l'équation d'ondes, avec des conditions aux limites de type Robin, donc il suffit de les résoudre une fois.)

Ayant résolu le problème spectral, on peut, maintenant, résoudre l'équation de diffusion. 

Mais, auparavant, il faut adresser le point suivant: Le terme $(\beta L/D)\partial\phi/\partial u$ ne se laisse pas écrire en termes simples, comme une combinaison linéaire des fonctions propres de $-d^2/du^2$. 

La raison est la suivante: L'expression de $\phi(u,\tau)$ en tant que combinaison linéaire des fonctions propres, $(f_\ast(u),f_n((u))$
\begin{equation}
\label{phiexpansion}
\phi(u,\tau)=c_\ast(\tau)f_\ast(u)+\sum_{n=1}^\infty\,c_n(\tau)f_n(u)
\end{equation}
implique que
\begin{equation}
\label{phiprimeexpansion}
\frac{\partial\phi}{\partial u}=c_\ast(\tau)f'_\ast(u)+\sum_{n=1}^\infty\,c_n(\tau)f'_n(u)\equiv d_\ast(\tau)f_\ast(u)+\sum_{n=1}^\infty\,d_n(\tau)f_n(u)
\end{equation}
On peut trouver l'expression des fonctions $d_\ast(\tau)$ et $d_n(\tau)$ en termes des fonctions $c_\ast(\tau)$, car les fonctions $(f_\ast(u),f_n(u))$ sont orthornormées:
\begin{equation}
\label{dcoeffs}
\begin{array}{l}
\displaystyle
d_\ast(\tau)=\int_0^1\,du\,\frac{\partial\phi}{\partial u}\,f_\ast(u)=c_\ast(u)\int_0^1\,du\,f'_\ast(u)\,f_\ast(u)+\sum_{n=1}^\infty\,c_n(\tau)\int_0^1\,f'_n(u)f_\ast(u)\\
\displaystyle
d_n(\tau)=\int_0^1\,du\,\frac{\partial\phi}{\partial u}\,f_n(u)=
c_\ast(\tau)\int_0^1\,du\,f'_\ast(u)f_n(u) + \sum_{m=1}^\infty\,c_m(\tau)\int_0^1\,du\,f'_m(u)f_n(u)
\end{array}
\end{equation}
On remarque, maintenant, que $f'_\ast(u)=-(1/|\Gamma|)A_\ast e^{-u/|\Gamma|}=-(1/|\Gamma|)f_\ast(u)$; par conséquent,
\begin{equation}
\label{fprimeastfastfn}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\int_0^1\,du\,f'_\ast(u)f_\ast(u)=-\frac{1}{|\Gamma|}\int_0^1\,du\,f_\ast(u)^2=-\frac{1}{|\Gamma|}\\
\displaystyle
\int_0^1\,du\,f'_\ast(u)f_n(u)=-\frac{1}{|\Gamma|}\int_0^1\,du\,f_\ast(u)\,f_n(u)=0\\
\displaystyle
\int_0^1\,du\,f'_n(u)f_\ast(u)=f_n(1)f_\ast(1)-f_n(0)f_\ast(0)-\int_0^1\,du f_n(u)f'_\ast(u)=f_n(1)f_\ast(1)-f_n(0)f_\ast(0)=\\
\displaystyle
\hskip2truecm
A_\ast A_n\left( e^{-1/|\Gamma|}\sin\left(n\pi-\frac{\theta_n}{2}\right)+\sin\frac{\theta_n}{2}\right)=A_\ast A_n\left(-e^{-1/|\Gamma|}(-)^n+1\right)\sin\frac{\theta_n}{2}\neq 0\\
\displaystyle
\int_0^1\,du\,f'_m(u)f_n(u)=A_m A_n m\pi\int_0^1\,du\,\cos\left(m\pi u-\frac{\theta_m}{2}\right)\sin\left(n\pi u-\frac{\theta_n}{2}\right)\neq \mathrm{const}\times \delta_{mn}
\end{array}
\end{equation}
\begin{exo}
Terminer le calcul pour l'éq.~(\ref{fprimeastfastfn}) et déterminer l'expression du membre de droite.
\end{exo}
Ces calculs impliquent que 
\begin{equation}
\label{dcoeffs1}
\begin{array}{l}
\displaystyle
d_\ast(\tau)=-\frac{c_\ast(\tau)}{|\Gamma|}+\sum_{n=1}^\infty\,c_n(\tau)A_\ast A_n\left(-e^{-1/|\Gamma|}(-)^n+1\right)\sin\frac{\theta_n}{2}\neq \mathrm{const}\times c_\ast(\tau)\\
\displaystyle
d_n(\tau)=A_n\sum_{m=0}^\infty\,c_m(\tau)A_m m\pi\int_0^1\,du\,\cos\left(m\pi u-\frac{\theta_m}{2}\right)\sin\left(n\pi u-\frac{\theta_n}{2}\right)\neq\mathrm{const}\times c_n(\tau)
\end{array}
\end{equation}
On voit que $d_\ast(\tau)$ et $d_n(\tau)$ ne sont déterminés par un nombre {\em fini} des coefficients $(c_\ast(\tau),c_n(\tau))$, mais  requièrent un nombre infini de termes. 

 
On va, alors, effectuer un changement de variables, qui va nous permettre d'écrire le membre de droite de l'éq.~(\ref{diffusion1}) comme celui du membre de droite de l'équation d'ondes en présence de la dispersion linéaire. 

\section{Le changement de variables}\label{chvar}
Le changement de variables est le suivant:
\begin{equation}
\label{difftoschroed}
\phi(u,\tau)=\Phi(u,\tau)e^{-A(u)}
\end{equation}
On va choisir $A(u)$ de façon à éliminer le terme proportionnel à $\partial\Phi/\partial u$ et ne laisser que les termes proportionnels à $\partial^2\Phi/\partial u^2$ et $\Phi$ (on pose $A'\equiv dA/du$):
\begin{equation}
\label{chvar1}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{\partial\phi}{\partial\tau}=\frac{\partial\Phi}{\partial\tau}e^{-A}\\
\displaystyle
\frac{\partial\phi}{\partial u}=\left(\frac{\partial\Phi}{\partial u}-\Phi A'\right)e^{-A}\\
\displaystyle
\frac{\partial^2\phi}{\partial u^2}=\left(
\frac{\partial^2\Phi}{\partial u^2}-2\frac{\partial\Phi}{\partial u}A'-\Phi\left(A''-A'^2\right)
\right)e^{-A}
\end{array}
\end{equation}
On en déduit l'équation pour $\Phi$:
\begin{equation}
\label{diffusionPhi}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{\partial\phi}{\partial\tau}=\frac{\partial^2\phi}{\partial u^2}+\frac{\beta L}{D}\frac{\partial\phi}{\partial u}\Leftrightarrow
\frac{\partial\Phi}{\partial\tau}= \left(
\frac{\partial^2\Phi}{\partial u^2}-2\frac{\partial\Phi}{\partial u}A'-\Phi\left(A''-A'^2\right)
\right) + \frac{\beta L}{D}\left(\frac{\partial\Phi}{\partial u}-\Phi A'\right)\Leftrightarrow\\
\displaystyle
\frac{\partial\Phi}{\partial\tau}=\frac{\partial^2\Phi}{\partial u^2}+\frac{\partial\Phi}{\partial u}\left(-2A' +\frac{\beta L}{D}  \right)-\Phi\left( A''-A'^2+A'\frac{\beta L}{D}  \right)
\end{array}
\end{equation}
On choisit, alors, la fonction $A(u)$ de façon à annuler le coefficient du terme $\partial\Phi/\partial u$ dans l'éq.~(\ref{diffusionPhi}):
\begin{equation}
\label{dPhidu=0}
-2A' +\frac{\beta L}{D}=0\Leftrightarrow A'=\frac{\beta L}{2D}
\end{equation}
[On note que l'on a fait l'hypothèse que $\beta$ est une constante--sinon on aurait un terme proportionnel à $(\beta' L/D)\phi\to (\beta' L/D)\Phi$ en plus.]

Sous l'hypothèse que $\beta=\mathrm{const}$ on déduit que $A''=0$ et l'équation pour $\Phi$ devient
\begin{equation}
\label{diffusionPhi1}
\frac{\partial\Phi}{\partial\tau}=\frac{\partial^2\Phi}{\partial u^2}-\Phi\left( -\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2+\frac{\beta L}{2D}\frac{\beta L}{D}\right)=
\frac{\partial^2\Phi}{\partial u^2}-\Phi\frac{\beta^2L^2}{4D^2}
\end{equation}
[Il sera très important par la suite que le coefficient du terme, proportionnel à $\Phi$, dans cette équation,  est négatif.]

En plus, il faut adapter les conditions aux limites--car elles ont été imposées à la fonction $\phi(u,\tau)$ et l'on devra les exprimer pour la fonction $\Phi(u,\tau)$.

On trouve facilement que
\begin{equation}
\label{bcRobinPhi}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\phi(u,\tau)+\Gamma\frac{\partial\phi}{\partial u}=e^{-A(u)}\Phi(u,\tau)+\Gamma\frac{\partial}{\partial u}\left(e^{-A(u)}\Phi(u,\tau)\right)=
e^{-A(u)}\left( \Phi(u,\tau)-\Gamma A'\Phi(u,\tau)-\Gamma\frac{\partial\Phi}{\partial u} \right)=\\
\displaystyle
\hskip3truecm
e^{-A(u)}(1-\Gamma A')\Phi-e^{-A(u)}\Gamma\frac{\partial\Phi}{\partial u}
\end{array}
\end{equation}
On en déduit les conditions aux limites, en termes de la fonction $\Phi(u,\tau)$:
\begin{equation}
\label{bcRobinPhi1}
\begin{array}{l}
\displaystyle
(1-\Gamma A')\Phi-\Gamma\frac{\partial\Phi}{\partial u}=0\Leftrightarrow \Phi(0,\tau)+\underbrace{\frac{\Gamma}{\Gamma A'-1}}_{\Gamma_\mathrm{eff}}\frac{\partial\Phi}{\partial u}(0,\tau)=0\\
\displaystyle
(1-\Gamma A')\Phi-\Gamma\frac{\partial\Phi}{\partial u}=0\Leftrightarrow \Phi(1,\tau)+\underbrace{\frac{\Gamma}{\Gamma A'-1}}_{\Gamma_\mathrm{eff}}\frac{\partial\Phi}{\partial u}(1,\tau)=0\\
\end{array}
\end{equation}
On se rend compte que ces expressions sont les mêmes que pour la fonction $\phi(u,\tau)$, seulement que $\Gamma$ est remplacée par 
\begin{equation}
\label{Gammaeff}
\Gamma_\mathrm{eff}\equiv\frac{\Gamma}{\Gamma A'-1}
\end{equation}
Cette expression implique que $\Gamma A'=\Gamma\beta L/(2D)\neq 1$. 
\section{La solution de l'équation de diffusion  avec conditions aux limites Robin: Démonstration du Théorème~\ref{Soldiffeq}}\label{DemoThm}
La démonstration est constructive. Elle a, cependant, deux lacuunes: (a) On n'a pas démontré que l'ensemble $\{f_\ast(u),f_n(u)\}$ est une base; (b) on ne vas pas démontrer que la série, construite à partir des $f_n(u)$, converge.  

Le premier point est traité dans les livres des mathématiques; le second point ne va pas nous intéresser, vu que le nombre de termes de la somme que l'on va utiliser est tellement petit que l'on ne sera pas sensible aux effets ``asymptotiques''. 

On exprime la fonction, $\phi(u,\tau)$ comme comibinaison linéaire de la fonction $f_\ast(u)$ et des fonctions $f_n(u)$:
\begin{equation}
\label{solseries}
\phi(u,\tau)=c_\ast(\tau) f_\ast(u)+\sum_{n=1}^N\,c_n(\tau)f_n(\tau)
\end{equation}
Pour $N$ fini l'expression est, certainement, bien définie. On va montrer que l'on peut calculer explicitement les coefficients $c_\ast(\tau)$ et $c_n(\tau)$, à partir des conditions initiales. 

On remplace l'expression pour $\phi(u,\tau)$ dans l'éq.~(\ref{diffusionPhi1}). Le membre de gauche devient:
\begin{equation}
\label{LHS1}
\frac{\partial}{\partial\tau}\Phi(u,\tau)=\frac{dc_\ast(\tau)}{d\tau}f_\ast(u)+\sum_{n=1}^N\,\frac{dc_n(\tau)}{d\tau}f_n(u)
\end{equation}
Les terms du  membre de droite à leur  tour, prennent la forme:
\begin{equation}
\label{RHS1}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{\partial^2}{\partial u^2}\Phi(u,\tau)=c_\ast(\tau)\frac{d^2}{du^2}f_\ast(u)+\sum_{n=1}^N\,c_n(\tau)\frac{d^2}{du^2}f_n(u)=\\
\displaystyle
\hskip2.4truecm
c_\ast\frac{1}{\Gamma_\mathrm{eff}^2}f_\ast(u)-\sum_{n=1}^N\,n^2\pi^2 c_n(\tau)f_n(u)\\
\displaystyle
-\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2\Phi=
-\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2 c_\ast f_\ast(u)-\sum_{n=1}^N\,\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2 c_n(\tau) f_n(u)
\end{array}
\end{equation}
Par conséquent
\begin{equation}
\label{RHS2}
\frac{\partial^2}{\partial u^2}\Phi(u,\tau)-\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2\Phi=
\left( \frac{1}{\Gamma_\mathrm{eff}^2}-\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2\right)c_\ast f_\ast(u) -\sum_{n=1}^N\,\left(n^2\pi^2+\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2\right)c_n(\tau)f_n(\tau)
\end{equation}
Les membres de gauche de ces équations étant égaux, les membres de droite devront l'être, aussi:
\begin{equation}
\label{LHS1=RHS2}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{dc_\ast(\tau)}{d\tau}f_\ast(u)+\sum_{n=1}^N\,\frac{dc_n(\tau)}{dt}f_n(u) = 
\displaystyle
\left( \frac{1}{\Gamma_\mathrm{eff}^2}-\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2\right)c_\ast f_\ast(u) -\sum_{n=1}^N\,\left(n^2\pi^2+\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2\right)c_n(\tau)f_n(\tau)
\end{array}
\end{equation}
On exploite, maintenant, les relations d'orthogonalité~(\ref{orthoeigenf}) pour déduire un système d'équations différentielles ordinaires pour les coefficients, $c_\ast(\tau)$ et $c_n(\tau)$: 
\begin{equation}
\label{ODEc}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{d}{d\tau}c_\ast(\tau)=\left( \frac{1}{\Gamma_\mathrm{eff}^2}-\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2\right) c_\ast(\tau)\\
\displaystyle
\frac{d}{d\tau}c_n = -\left(n^2\pi^2+\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2\right)c_n(\tau)
\end{array}
\end{equation}
C'est à ce point intéressant de se rappeler de l'expression~(\ref{Gammaeff} de $\Gamma_\mathrm{eff}$ afin de simplifier le membre de droite de l'équation pour $c_\ast(\tau)$: 
\begin{equation}
\label{cstarRHS}
 \frac{1}{\Gamma_\mathrm{eff}^2}-\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2=\frac{(\Gamma A'-1)^2}{\Gamma^2}-A'^2=\frac{ (\Gamma A'-1)^2-(\Gamma A')^2  }{\Gamma^2}=
 \frac{1-2\Gamma A'}{\Gamma^2}
\end{equation}
Les solutions générales de ces équations sont données par les expressions:
\begin{equation}
\label{solODEc}
\begin{array}{l}
\displaystyle
c_\ast(\tau)=C_\ast e^{\tau\Gamma^2/(1-2\Gamma A')}\\
\displaystyle
c_n(\tau)=K_n e^{-\frac{\tau}{ n^2\pi^2+\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2  } }
\end{array}
\end{equation}
Les coefficients, $C_\ast$ et  $K_n$ sont déterminés par les conditions initiales:
\begin{equation}
\label{initcondsol}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\phi(u,0)=f(u)=C_\ast f_\ast(u)+\sum_{n=1}^N\,K_n f_n(u)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle
C_\ast = \int_0^1\,du\,\phi(u,0)\,f_\ast(u)\\
\displaystyle
K_n=\int_0^1\,du\,\phi(u,0)\,f_n(u)
\end{array}\right.
\end{array}
\end{equation}
et l'on déduit l'expression suivante  pour $\phi(u,\tau)$:
\begin{equation}
\label{sol}
\phi(u,\tau)= e^{-A(u)}\Phi(u,\tau)= e^{-\frac{\beta L}{2D}u}\left\{
C_\ast e^{\tau\Gamma^2/(1-2\Gamma A')} f_\ast(u)+\sum_{n=1}^N\,K_n e^{-\frac{\tau}{ n^2\pi^2+\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2  } } f_n(u)\right\}
\end{equation}
On note que le premier terme explose exponentiellement avec le temps--sauf si $1-2\Gamma A'\leq 0$. 

Si $1-2\Gamma A'=0$, alors seulement la somme contribue à la solution, qui décrit une onde progressive, atténuée. La raison est que les facteurs exponentiels (avec $f_n(u)$) ont comme argument
\begin{equation}
\label{phase}
-\frac{\beta L}{2D}u -\frac{\tau}{ n^2\pi^2+\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2  }\pm\mathrm{i}\left(n\pi u -\frac{\theta_n}{2}\right)
\end{equation}
qui décrit une onde progressive avec ``vraie'' longueur d'atténuation $L/(n\pi)$, pour le $n-$ième mode, dont la phase est donnée par 
\begin{equation}
\label{phase1}
-\frac{\beta L}{2D}u -\frac{\tau}{ n^2\pi^2+\left(\frac{\beta L}{2D}\right)^2  }
\end{equation}
et possède une phase ``propre'' de $\pm\theta_n/2$. Donc il s'agit d'ondes planes, qui réalisent du transport d'un bord à l'autre--mais seulement dans un sens. 

On note que le paramètre qui décrit la solution est $\beta L/(2D)$. Tous les systèmes qui ont la même valeur pour cette combinaison des paramètres $\beta, L$ et $D$  ont les mêmes propriétés. 

\section{La densité aux bords}\label{boundarydensity}
Une conséquence intéressante des conditions aux limites Robin (et Neumann) est que la valeur de la solution aux bords est un des résultats du calcul de la solution. 
\begin{exo}
Calculer et tracer la densité aux bords, $\phi(0,\tau)$ et $\phi(1,\tau)$ (dans le cas $1=2A'\Gamma$).
\end{exo}
L'équation de diffusion exprime une loi de conservation--pourvu que les conditions aux limites soient compatibles:
\begin{equation}
\label{conservationlaw}
\frac{\partial}{\partial\tau}\int_0^1\,du\,\phi(u,\tau)=\int_0^1\,du\,\frac{\partial}{\partial u}\left(\frac{\partial\phi}{\partial u}+\beta\phi\right)=
\frac{\partial\phi}{\partial u}(1,\tau)+\beta\phi(1,\tau)-\frac{\partial\phi}{\partial u}(0,\tau)-\beta\phi(0,\tau)
\end{equation}
\begin{exo}
[{\bf OPTIONNELLE}]: 
Tracer le membre de droite de cette équation et discuter la conservation, ou non, de la ``masse'' (ou ``charge'', selon le contexte)
\begin{equation}
\label{charge}
\int_0^1\,du\,\phi(u,\tau)
\end{equation}
\end{exo}
\bibliographystyle{utphys}
\bibliography{SUSY}

\end{document}
