\documentclass[12pt]{article}
\usepackage[french]{babel}
\usepackage[utf8x]{inputenc}
\usepackage{amssymb,amsmath,amsthm,mathrsfs,bm}
\newtheorem{theo}{Théorème}
\begin{document}
\begin{titlepage}
  \begin{center}
  \begin{large}
{\bf     
Compte Rendu sur la modélisation des équations aux dérivées partielles}
  \end{large}

  \vskip2truecm

  Stam Nicolis\footnote{E-Mail: stam.nicolis@lmpt.univ-tours.fr; stamatios.nicolis@univ-tours.fr}

  {\sl
    Institut Denis Poisson (UMR7013)\\
    Université de Tours, Université d'Orléans\\
    37200 Tours, Parc Grandmont
   
  }
\end{center}
  \vskip1.0truecm
  \begin{abstract}
On présente la solution de l'équation de Schrödinger pour le cas d'une particule dans un potentiel à plusieurs puits et l'on explore la résurrection de la fonction d'onde dans ce cas.
    \end{abstract}
\end{titlepage}
\tableofcontents
\section{Introduction}\label{intro}
Le but de cet exercice est l'étude de la solution de l'équation de Schrödinger pour la particule libre, soumise à des conditions aux limites particulières:
\begin{equation}
\label{Schroed}
\mathrm{i}\hbar\frac{\partial\psi}{\partial t}=H\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\psi}{\partial x^2}  
\end{equation}
avec les conditions aux limites $\psi(\pm L/2,t)=0$ (la particule est ``piegée'' dans une ``boîte'' à une dimension). Dans un premier temps on étudie l'évolution dans cette boîte, par la suite on introduira des ``obstacles'', qui nécessiteront des conditions supplémentaires. 
\section{Le problème}\label{prob}
\subsection{Choix d'unités}\label{units}
On peut choisir nos unités pour mettre la valeur de toute quantité ``dimensionnée'' égale à 1 ou toute autre valeur commode. Ainsi l'on va poser
\begin{equation}
  \label{unitsq}
  \begin{array}{ccc}
    \hbar & & 1\\
    m     & & 1/2\\
    L     & & ?
  \end{array}  
\end{equation}
\subsection{La méthode spectrale}\label{spectrale}
La méthode qui sera employée pour résoudre l'éq.~(\ref{Schroed})--avec le choix d'unités présenté plus haut--est la soi-disant {\em méthode spectrale}: On va exprimer la fonction, $\psi(x,t)$ comme une combinaison linéaire des fonctions ppropres du Hamiltonien de la particule libre, qui satisfont les conditions aux limites:
\begin{equation}
  \label{solspectral}
  \psi(x,t)=\sum_n^\infty\,c_n(t)f_n(x)
\end{equation}
avec
\begin{equation}
\label{spectral}
\begin{array}{l}
\displaystyle  
-\frac{d^2}{dx^2}f_n(x) = \lambda_n f_n(x)\\
\displaystyle
f_n(\pm 1/2)=0
\end{array}  
\end{equation}
\begin{theo}
  Les valeurs propres, $\lambda_n,$ sont données par l'expression
  \begin{equation}
    \label{valpropres}
    \lambda_n = \frac{n^2\pi^2}{L^2}
  \end{equation}
  et les fonctions propres par l'expression
  \begin{equation}
    \label{fonctproprpes}
    f_n(x) = A_n\sin n\pi\frac{x}{L} + B_n \cos n\pi \frac{x}{L}
\end{equation}  
\end{theo}
\begin{proof}

\end{proof}
Ces fonctions propres peuvent être choisies orthonormées, c.à.d. satisfaire la condition
\begin{equation}
  \label{orthonormfn}
  \int_{-L/2}^{L/2}\,dx\,f_n(x) f_m(x) = \delta_{nm}
\end{equation}  
\section{La méthode numérique}\label{mthnum}
\section{Rsultats}\label{res}
\section{Conclusions}\label{concl}
\appendix
\section{Le code}\label{code}

\end{document}
