\documentclass[12pt]{article}
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\newtheorem{theo}{Théorème}
\begin{document}

\begin{titlepage}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf TP2: Le problème de Kepler}
\end{large}

\vskip1.0truecm


Stam Nicolis\footnote{E-Mail: Stam.Nicolis@lmpt.univ-tours.fr}

\vskip1.0truecm

{\em 
CNRS--Institut Denis Poisson (UMR7013)\\
Université de Tours, Université d'Orléans\\
Parc Grandmont, 37200 Tours, France
}

\end{center}

\vskip2.0truecm

\begin{abstract}
La solution du problème de Kepler.
\end{abstract}
\end{titlepage}

\tableofcontents
\newpage
\section{Introduction}\label{intro}
\section{Questions théoriques}\label{Qth}
\begin{enumerate}
\item 

{\em Réponse}: 


\item 

{\em Réponse}: 

\item 

{\em Réponse}: 
\end{enumerate}
\section{Applications numériques}\label{appnum}
\begin{enumerate}
\item {\em Solution numérique des équations du mouvement pour 
$m=0.5, \alpha=2.8$ et conditions initiales $(x,y,v_x,v_y)(t=0)=
(2.1,0.0,0.0,1.4)$, pour $0\leq t\leq 100$. 
}

{\em Réponse}: En utilisant le code {\tt Sage}:
\begin{verbatim}
from sage.calculus.desolvers import desolve_system_rk4 
x,y,vx,vy,t=var('x y vx vy t')
def r(x,y):
    return  sqrt(x**2+y**2)
def fx(x,y):
    return -5.6*x/(r(x,y)**3)
    
def fy(x,y):
    return  -5.6*y/(r(x,y)**3)
    
       
P=desolve_system_rk4([vx,fx(x,y),vy, fy(x,y)],[x,vx,y,vy],ics=[0,2.1,0,0,1.4],step=0.01,ivar=t,end_points=100)

Q=[[x,y] for t,x,vx,y,vy in P]

R=list_plot(Q,plotjoined=True,rgbcolor=(1,0,0))

R
\end{verbatim}
on produit la trajectoire $y=y(x)$, affichée dans la fig.~\ref{solnum1}.
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{TP2keplerquestion1.png}
\end{center}
\caption[]{La trajectoire d'une particule de masse }
\label{solnum1}
\end{figure}
\item {\em Tester la conservation, par la méthode numérique de l'énergie et du moment cinétique, ainsi que l'évolution dans le temps des composantes de l'impulsion.}

{\em Réponse}: On s'attend à ce que l'énergie totale, $E$,
\begin{equation}
\label{En}
E = \frac{m}{2}\left(v_x^2+v_y^2\right) -\frac{\alpha}{(x^2+y^2)^{1/2}}
\end{equation}
soit indépendante du temps, ainsi que la composante $L_z=m(xv_y-yv_x)$ du moment cinétique. Ceci est confirmé par les résultats obtenus par 
\begin{verbatim}
from sage.calculus.desolvers import desolve_system_rk4 
x,y,vx,vy,t=var('x y vx vy t')
def r(x,y):
    return  sqrt(x**2+y**2)
def fx(x,y):
    return -5.6*x/(r(x,y)**3)
    
def fy(x,y):
    return  -5.6*y/(r(x,y)**3)
    
       
P=desolve_system_rk4([vx,fx(x,y),vy, fy(x,y)],[x,vx,y,vy],ics=[0,2.1,0,0,1.4],step=0.0
1,ivar=t,end_points=100)
Qe=[[t,0.25*(vx*vx+vy*vy)-2.8/r(x,y)] for t,x,vx,y,vy in P]
Re=list_plot(Qe,plotjoined=True,rgbcolor=(1,0,0))
Re
\end{verbatim}
ainsi que 
\begin{verbatim}
from sage.calculus.desolvers import desolve_system_rk4 
x,y,vx,vy,t=var('x y vx vy t')
def r(x,y):
    return  sqrt(x**2+y**2)
def fx(x,y):
    return -5.6*x/(r(x,y)**3)
    
def fy(x,y):
    return  -5.6*y/(r(x,y)**3)
    
       
P=desolve_system_rk4([vx,fx(x,y),vy, fy(x,y)],[x,vx,y,vy],ics=[0,2.1,0,0,1.4],step=0.01,ivar=t,end_points=100)
QLz=[[t,0.5*(x*vy-y*vx)] for t,x,vx,y,vy in P]
RLz=list_plot(QLz,plotjoined=True,rgbcolor=(1,0,0))
RLz
\end{verbatim}
et affichés dans les figures~\ref{loisdeconservation}.
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.5]{TP2keplerquestion2E.png}}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.5]{TP2keplerquestion2Lz.png}}
\end{center}
\caption[]{L'évolution dans le temps de l'énergie, $E$ et du moment cinétique, $L_z$. On constate qu'ils sont conservés, à la précision à laquelle on travaille.}
\label{loisdeconservation}
\end{figure}
Par contre, les composantes, $p_x$ et $p_y$,  de l'impulsion ne doivent pas être conservées, vu que leurs variations sont données par les équations du mouvement. En effet,on trouve l'évolution attendue~\ref{pxpyevol}.
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{TP2keplerquestion2pxpy.png}
\end{center}
\caption[]{L'évolution dans le temps des composantes, $p_x$ (en rouge) et $p_y$ (en bleu).}
\label{pxpyevol}
\end{figure}
\item On peut afficher l'animation du mouvement dans le fichier inclu à part.
\item On veut, maintenant, faire varier la valeur de la vitesse initiale, $v_y(0)$ et mettre en évidence le passage d'un mouvement périodique à un mouvement non-périodique. 
Le résultat de cette variation est affiché dans la fig.~\ref{ellipsebeyond}.
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{TP2keplerquestion4.png}
\caption[]{La trajectoire du point matériel, pour $v_y(0)=1.4,1.6$ et 2.3. On remarque que, pour la dernière valeur, le movement est non--périodique.}
\end{center}
\label{ellipsebeyond}
\end{figure}
La raison est que, lorsque 
\begin{equation}
\label{vyborne}
E=\frac{m}{2}\left(v_x(0)^2+v_y(0)^2\right)-\frac{\alpha}{(x(0)^2+y(0)^2)^{1/2}}\geq 0
\end{equation}
la droite, horizontale $E=V_\mathrm{eff}(r)$ ne coupe qu'à un seul point l'énergie potentielle effective 
\begin{equation}
\label{veff}
V_\mathrm{eff}(r)=\frac{L_z^2}{2mr^2}-\frac{\alpha}{r}
\end{equation}
Dans le cas spécial, où $y(0)=0$ et $v_x(0)=0$, on doit avoir 
\begin{equation}
\label{transition}
E(x(0),v_y(0))=\frac{m}{2}v_y(0)^2-\frac{\alpha}{x(0)}\geq 0\Leftrightarrow 
v_y(0)^2\geq \frac{2\alpha}{ m x(0)}
\end{equation}
pour que le mouvement cesse d'être périodique.
\end{enumerate}

\end{document}
