\documentclass[12pt]{article}
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\newtheorem{theo}{Théorème}
\begin{document}

\begin{titlepage}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf TP1: Pendule amorti}
\end{large}

\vskip1.0truecm


Stam Nicolis\footnote{E-Mail: Stam.Nicolis@lmpt.univ-tours.fr}

\vskip1.0truecm

{\em 
CNRS--Institut Denis Poisson (UMR7013)\\
Université de Tours, Université d'Orléans\\
Parc Grandmont, 37200 Tours, France
}

\end{center}

\vskip2.0truecm

\begin{abstract}
Etude du pendule amorti.
\end{abstract}
\end{titlepage}

\tableofcontents
\newpage
\section{Introduction}\label{intro}
Le pendule amorti est décrit par le système d'équations différentielles
\begin{equation}
\label{penduleamorti}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\dot{\theta}=\phi\equiv F(\theta,\phi)\\
\displaystyle
\dot{\phi}=-\sin\theta-\alpha\phi\equiv G(\theta,\phi) 
\end{array}
\end{equation}
où les dérivées sont prises par rapport à la variable, sans dimensions, $\tau\equiv t\sqrt{g/l}$. 
\section{Questions théoriques}\label{Qth}
\begin{enumerate}
\item {\em  La fréquence, $\omega_0$, des petites oscillations}.

{\em Réponse}: 

\item {\em La période, $T_0$, des petites oscillations}.

{\em Réponse}: 

\item {\em Les points fixes du système~(\ref{penduleamorti}) et leur stabilité}

{\em Réponse}: Les points fixes sont les solutions du système $F(\theta,\phi)=0$ et $G(\theta,\phi)=0$, à savoir, $(\theta_1,\phi_1)=( ,)$ et $(\theta_2,\phi_2)=( ,)$. 

Leur stabilité est contrôlée par les valeurs propres correspondantes, du Jacobien, solutions des équations
\begin{equation}
\label{stabfp}
\begin{array}{l}
\lambda^2-\lambda\left(\frac{\partial F}{\partial\theta}+\frac{\partial G}{\partial\phi}\right)+\frac{\partial F}{\partial\theta}\frac{\partial G}{\partial\phi}-\frac{\partial F}{\partial\phi}\frac{\partial G}{\partial\theta}=0
\end{array}
\end{equation}
où les dérivées sont calculées aux points $(\theta_1,\phi_1)$ et $(\theta_2,\phi_2)$. Le mouvement est stable si toutes les deux valeurs propres ont partie réelle négative. 

On trouve, en effet, que
\begin{equation}
\label{valpropres}
\begin{array}{lclcl}
(\theta,\phi) & \lambda_1 & \lambda_2\\
 ( , )                  &                   &                  \\
 ( , )                   &                   &                  \\
\end{array}
\end{equation}
Par conséquent, on en déduit que
\item {\em La conservation de l'énergie, lorsque $\alpha=0$ et le taux de sa perte, lorsque $\alpha\neq 0$}.

{\em Réponse}: 
L'équation du mouvement implique que 
\begin{equation}
\label{EOM}
\ddot{\theta}+\alpha\dot{\theta}+\sin\theta=0\Leftrightarrow\dot{\theta}\ddot{\theta}+\alpha\dot{\theta}^2+\dot{\theta}\sin\theta=0\Leftrightarrow\frac{d}{d\tau}\left(  \right)+\alpha\dot{\theta}^2=0
\end{equation}
Par conséquent, lorsque $\alpha=0$ on identifie l'expression de $\theta$ et $\dot{\theta}\equiv\phi$, 
\begin{equation}
\label{energy}
E(\theta,\phi)\equiv
\end{equation}
et, lorsque $\alpha\neq 0$, on déduit que 
\begin{equation}
\label{dEdt}
\frac{dE}{dt}=
\end{equation}
\end{enumerate}
\section{Applications numériques}\label{appnum}
\begin{enumerate}
\item {\em Solution de l'équation du mouvement, lorsque $\alpha=0, \theta(t=0)=0,\dot{\theta}(t=0)=1.2$}
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.7]{pendule1sol.png}
\end{center}
\caption[]{La solution pour $\theta=0,\dot{\theta}(t=0)=1.2$.}
\label{solalpha0}
\end{figure}
\item {\em Solution de l'équation du mouvement, lorsque $\alpha=0, \theta(t=0)=0,\dot{\theta}(t=0)=2.1$}
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.7]{pendule1sol.png}
\end{center}
\caption[]{La solution pour $\theta=0,\dot{\theta}(t=0)=2.1$.}
\label{solalpha01.2}
\end{figure}
On remarque que

Les résultats pour les valeurs $\dot{\theta}(t=0)=$ sont affichés dans la fig.~\ref{interpol}.
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.7]{pendule1sol.png}
\end{center}
\caption[]{Les résultats pour $\dot{\theta}(t=0)=$. On remarque que}
\label{interpol}
\end{figure}
\item La visualisation de la trajectoire est affichée dans~fig.~\ref{trajanim}
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.7]{pendule1sol.png}
\end{center}
\caption[]{La visualisation de la trajectoire dans le plan $XY$.}
\label{trajanim}
\end{figure}
\item Ob affiche l'énergie totale, 
\begin{equation}
\label{Etot}
E = 
\end{equation}
comme fonction du temps dans la fig.~\ref{entot}. 
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.7]{pendule1sol.png}
\end{center}
\caption[]{L'énergie $E$, comme fonction du temps. On constate que}
\label{entot}
\end{figure}
\item Le portrait de phase, $\phi$ comme fonction de $\theta$, est affiché dans la fig.~\ref{portrait}
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
%\includegraphics[scale=0.7]{pendule1sol.png}
\end{center}
\caption[]{Le portrait de phase. On constate que}
\label{portrait}
\end{figure}
\item Le portrait de phase $\phi$ comme fonction de $\theta$, pour $\theta(\tau)$, comme fonction de $\tau$, lorsque $\alpha=3.5$ et 1.5 est affiché dans fig.~\ref{pphalpha}.
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\subfigure{
%\includegraphics[scale=0.7]{pphalpha=3.5.png}
}
\subfigure{
%\includegraphics[scale=0.7]{ppphalpha=1.5.png}
}
\end{center}
\caption[]{Le portrait de phase, pour $\alpha=3.5$ et $\alpha=1.5$. On constate que}
\label{pphalpha}
\end{figure}

\end{enumerate}

\end{document}
