\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{subfigure} % pour pouvoir afficher plusieurs graphes au sein de la même figure
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\newtheorem{theo}{Théorème}
\begin{document}

\begin{titlepage}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf Les transformations de Möbius}
\end{large}

\vskip1.0truecm


Stam Nicolis\footnote{E-Mail: Stam.Nicolis@lmpt.univ-tours.fr}

\vskip1.0truecm

{\it 
CNRS--Institut Denis Poisson (UMR7013)\\
Université de Tours, Université d'Orléans\\
Parc Grandmont, 37200 Tours, France
}

\end{center}

\vskip2.0truecm

\begin{abstract}
Quelques exemples des transformations de Möbius.
\end{abstract}
\end{titlepage}

\tableofcontents
\newpage
\section{Introduction}\label{intro}
Les transformations de Möbius sont définies par 
\begin{equation}
\label{moebius}
z_{n+1}=\frac{az_n+n}{cz_n+d}
\end{equation}
Un cas particulier est celui où $ad-bc=1$. Cette relation peut être représentée par $a=\cos\theta=d, b=-c=-\sin\theta$.

Si $\theta/360=l/k$, avec $l,k\in\mathbb{N}$, l'itération est périodique; sinon elle est non-périodique. Lorsque l'on travaille avec l'ordinateur, qui ne représente que des nombres rationnels, l'itération est, toujours, périodique--mais la période peut être très longue.

 Un exemple est donné en fig.~\ref{Pentagone}
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Poly5.png}
\caption[]{L'itération de l'éq.~(\ref{moebius}) pour $\theta=72$ et $\theta = 72.1$ degrés.}
\label{Pentagone}
\end{center}
\end{figure}

Une généralisation de cette tansformation est définie par deux angles, $\theta_0 = 360\times l_0/k_0$ et $\theta_1 = 360\times l_1/k_1$, avec $k_0$ et $k_1$ sans 
facteurs communs (indiqué par $(k_0,k_1)=1$). 

La transformation de Möbius, alors, est donnée par
\begin{equation}
\label{Moebius2}
z_{n+1} = \frac{z_n\cos\theta_n -\sin\theta_n}{z_n\sin\theta_n + \cos\theta_n}
\end{equation}

Où l'expression pour l'angle $\theta_n$ est la suivante:
\begin{equation}
\label{mod2}
\theta_n = ((1-n\%2))\theta_0 + (n\%2)\theta_1
\end{equation}
et $n\%2$ indique le reste de la division de $n$ par 2. 

Dans la figure~\ref{mix72_60} on affiche le dessin correspondant lorsque l'on applique la transformation avec $\theta_0$ les instants pairs et avec $\theta_1$ les instants impairs.
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.8]{Moebius_72_60.png}
\caption[]{L'itération de l'éq.~(\ref{moebius}) pour $\theta_0=72$ et $\theta_1 = 60$ degrés.}
\label{mix72_60}
\end{center}
\end{figure}
On peut généraliser cette transformation, pour le cas de trois angles, $\theta_0$, $\theta_1$ et $\theta_2$, selon le reste de la division de $n$ par 3. 

L'expression pour $\theta_n$ est, alors, donnée par 
\begin{equation}
\label{mod3}
\theta_n =  c_0\theta_0  + c_1\theta_1 + c_2\theta_2
\end{equation}
avec 
\begin{equation}
\label{coeffsmod3}
\begin{array}{l}
\displaystyle
c_0 = 1 - ( ((n\%3)\&1)\hskip0.1truecm\widehat{ }\hskip0.1truecm(((n\%3)\&2)>>1) )\\
\displaystyle
c_1 = (n\%3)\%2\\
\displaystyle
c_2 = c2 = (n\%3)>>1
\end{array}
\end{equation}
On trouve la trajectoire, affichée  dans la figure~\ref{troisangles}.
\begin{figure}[H]
\begin{center}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.7]{Moebius3_72_80_90_T=108.png}}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.7]{Moebius3_72_80_90_108_107.png}}
\end{center}
\caption[]{La trajectoire pour $\theta_0=72, \theta_1=80$ et $\theta_2=90$ degrés. La période est égale à $T=108$. On affiche la comparaison avec $N=107$ itérations.}
\label{troisangles}
\end{figure}
\section{Les polygones étoilés et d'autres}\label{polyg}
On peut montrer que la solution de l'itération, lorsque l'on itère les angles selon la suite $\theta_0, \theta_1,\theta_2,\ldots,\theta_{K-1}$ est donnée par l''expression
\begin{equation}
\label{solK}
z_{Kn} = \frac{z_0\cos[(\theta_0+\theta_1+\cdots\theta_{K-1})]-\sin[(\theta_0+\theta_1+\cdots\theta_{K-1})]}
{z_0\sin[(\theta_0+\theta_1+\cdots\theta_{K-1})] +  \cos[(\theta_0+\theta_1+\cdots\theta_{K-1})]}
\end{equation}
Par conséquent, le mouvement sera périodique lorsque $z_{KN} = z_0$. Alors 
$$
N\left(\theta_0+\theta_1+\cdots\theta_{K-1}\right) = 2\pi M 
$$
On essaie de générer des polygones, étoilés et non--étoilés. Quelques résultats sont affichés dans la fig.~\ref{5-agones_et_9-agones}. 
\begin{figure}[H]
\subfigure{\includegraphics[scale=0.5]{5agone.png}}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.5]{9agone.png}}
\caption[]{Les ``pentagones'' et ``neufagones''.}
\label{5-agones_et_9-agones}
\end{figure}
ainsi que dans la fig.~\ref{10et20}.
\begin{figure}[H]
\includegraphics[scale=0.7]{10et20.png}
 \caption[]{Le 10-agone et le 20-agone.}
\label{10et20}
\end{figure}
\end{document}

\subsection{Les trois lois de Newton}\label{N3lois}
Les trois lois de Newton sont les suivantes:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Un corps, sur laquelle n'agit aucune force garde sa vitesse constante.
\item[$\bullet$] La deuxième loi: 
\begin{equation}
\label{2loi}
F = ma
 \end{equation}
\item[$\bullet$] La troisième loi:
\begin{equation}
\label{3loi}
\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}
\end{equation}
\end{itemize}
La deuxième loi de Newton~(\ref{2ln})~\cite{Newton} 
\begin{equation}
\label{2ln}
F=ma
\end{equation}
appliquée au cas de la loi de Coulomb~(\ref{coulomb}) 
\begin{equation}
\label{coulomb}
{\bf F}_{12}=
\frac{Q_1Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}^2}\widehat{\bf r}_{12}
\end{equation}
\newpage
\section{Quelques solutions particulières}\label{solpart}
\subsection{Le cas de l'accélération constante}\label{constacc}
%On peut résoudre les équations du mouvement, pour le cas où l'accélération est constante, ${\bf a}={\bf a}_0$:
\begin{theo}
La solution des équations 
\begin{equation}
\label{eqdumvt}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{d\vec{x}}{dt} = \vec{v}\\
%\frac{d{\bf x}}{dt}={\bf v}\\
\\
\displaystyle
%\frac{d{\bf v}}{dt}={\bf a}
\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a}_0
\end{array}
\end{equation}
peut être trouvée explicitement, si $\vec{a}_0$ est un vecteur constant.
\end{theo}
\begin{proof}
\begin{equation}
\label{vitesse}
%{\bf a}_0 = \frac{d{\bf v}}{dt}\Leftrightarrow {\bf v}(t) = {\bf v}(0) + {\bf a}_0 t
\vec{a}_0 = \frac{d\vec{v}}{dt}\Leftrightarrow 
\vec{v}(t) = \vec{v}(0) + \vec{a}_0 t
\end{equation}
et 
\begin{equation}
\label{position}
%{\bf v}(t) = {\bf v}(0) + {\bf a}_0 t = \frac{d{\bf x}}{dt}\Leftrightarrow 
%{\bf x}(t) = {\bf x}(0) + {\bf v}(0)t + \frac{1}{2}{\bf a}_0 t^2
\vec{v}(t) = \vec{v}(0) + \vec{a}_0 t = \frac{d\vec{x}}{dt}\Leftrightarrow 
\vec{x}(t) = \vec{x}(0) + \vec{v}(0)t + \frac{1}{2}\vec{a}_0 t^2
\end{equation}
\end{proof}
Ces équations sont affichées dans la figure~\ref{solutions} pour le cas 
particulier $\vec{x}(0)=(0,0,0)$, $\vec{v}(0)=(0,0,0)$ et $\vec{a}_0=(2D/t_D^2,0,0)$.
\begin{figure}
\begin{center}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.6]{position0.png}}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.6]{vitesse0.png}}
\caption[]{La position et la vitesse d'un point matériel uniformémement accéléré.}
\label{solutions}
\end{center}
\end{figure}
Si l'accélération change de $a_0$ à $a_1$ à $t=t_D$, les courbes deviennent~cf. fig.~\ref{solutions1}.
\begin{figure}
\begin{center}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.6]{position1.png}}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.6]{vitesse1.png}}
\caption[]{La position et la vitesse d'un point matériel uniformémement accéléré, lorsqu'elle est décélérée avec $a_1/a_0=-0.2$.}
\label{solutions1}
\end{center}
\end{figure}
Les expressions peuvent être écrites comme
\begin{equation}
\label{allsol}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{x(t)}{D} = \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left(\frac{t}{t_D}\right)^2,\hskip1truecm 0\leq t\leq t_D\\
\displaystyle 1 + 2\left(\frac{t}{t_D}-1\right) + \frac{1}{2}\frac{a_1}{a_0}\left(\frac{t}{t_D}-1\right)^2\,\hskip1truecm t_D\leq t
\end{array}
\right.\\
\displaystyle
\frac{v(t)}{a_0t_D}= \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \hskip1truecm 0\leq t\leq t_D\\
\displaystyle \hskip1truecm t_D\leq t 
\end{array}
\right.
\end{array}
\end{equation}
%\section{Description de l'expérience}\label{manip}
%\subsection{Première partie}\label{1partie}
%\newpage
%\subsection{Deuxième partie}\label{2partie}
\newpage
%\section{Traitement des mesures}\label{traitement}
\newpage
%\subsection{La partie informatique}\label{info}
%\newpage
%\subsection{La partie analytique}\label{maths}
%\newpage
%\section{Conclusions}\label{concl}
%\newpage
\section{Bibliographie}\label{biblio}
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Newton} I. Newton, {\em Principia Mathematica} (1687).
\bibitem{ExoM} \href{https://celene.univ-tours.fr/mod/resource/view.php?id=342982}{L'énoncé du TD1}
\end{thebibliography}


\end{document}
