\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{subfigure} % pour pouvoir afficher plusieurs graphes au sein de la même figure
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\newtheorem{theo}{Théorème}
\newtheorem{prop}{Proposition}
\newtheorem{corr}{Corollaire}
\begin{document}

\begin{titlepage}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf Les transformations de Möbius}
\end{large}

\vskip1.0truecm


Stam Nicolis\footnote{E-Mail: Stam.Nicolis@lmpt.univ-tours.fr}

\vskip1.0truecm

{\it 
CNRS--Institut Denis Poisson (UMR7013)\\
Université de Tours, Université d'Orléans\\
Parc Grandmont, 37200 Tours, France
}

\end{center}

\vskip2.0truecm

\begin{abstract}
Quelques exemples des transformations de Möbius.
\end{abstract}
\end{titlepage}

\tableofcontents
\newpage
\section{Introduction}\label{intro}
Les transformations de Möbius sont définies par 
\begin{equation}
\label{moebius}
z_{n+1}=\frac{az_n+b}{cz_n+d}
\end{equation}
Un cas particulier est celui où $ad-bc=1$. Cette relation peut être représentée par $a=\cos\theta=d, b=-c=-\sin\theta$.

\begin{prop}
\label{thetaconstante}
La solution de la récurrence~(\ref{moebius}),lorsque $a=\cos\theta=d, b=-c=-\sin\theta$, est donnée par l'expression
\begin{equation}
\label{sol}
z_n=\frac{z_0\cos n\theta-\sin n\theta}{z_0\sin n\theta + \cos n\theta}
\end{equation}
\end{prop}
\begin{proof}
On va démontrer que l'expression~(\ref{sol}) est la solution de la récurrence~(\ref{moebius}), lorsque $a=d=\cos\theta$ et $b=-c=-\sin\theta$, par récurrence:
\begin{enumerate}
\item On montre que~(\ref{sol}) est valable pour $n=0$:
\begin{equation}
z_0 = \frac{z_0\cos(0)-\sin(0)}{z_0\sin(0)+\cos(0)}=z_0
\end{equation}
\item On fait l'hypothèse que~(\ref{sol}) est la solution pour $n=p>0$:
\begin{equation}
\label{hyp}
z_p = \frac{z_0\cos(p\theta)-\sin(p\theta)}{z_0\sin(p\theta)+\cos(p\theta)}
\end{equation}
\item On va montrer que cette hypothèse implique que $z_{p+1}$, calculé à partir de l'éq.~(\ref{sol}), est égal au résultat, calculé à partir de l'éq.~(\ref{moebius}), c.à.d.
\begin{equation}
\label{pplus1}
z_{p+1}=\frac{z_0\cos[(p+1)\theta]-\sin[(p+1)\theta]}{z_0\sin[(p+1)\theta]+\cos[(p+1)\theta]}\stackrel{?}{=}
\frac{z_p\cos\theta-\sin\theta}{z_p\sin\theta+\cos\theta}
\end{equation}
Si l'on résout cette dernière équation pour $z_p$ et l'on emploie les identités
\begin{equation}
\label{trigid}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\cos[(p\pm 1)\theta]=\cos p\theta\cos\theta\mp\sin p\theta\sin\theta\\
\displaystyle
\sin[(p\pm 1)\theta]=\sin p\theta\cos\theta\pm\cos p\theta\sin\theta
\end{array}
\end{equation}
on se rend compte que les deux expressions pour $z_{p+1}$ sont, effectivement, 
identiques.
\end{enumerate} 
\end{proof}
\begin{theo}
Si $\theta$ est un multiple rationnel de 2$\pi$,$\theta=2\pi l/k$, avec $l,k\in\mathbb{N}$, alors la suite $\{z_n\}$ est p\'eriodique. 
\end{theo}
\begin{proof}
L'expression~(\ref{sol}) pour la solution de la récurrence implique que, 
dans ce cas
\begin{equation}
\label{thetarat}
z_n=\frac{z_0\cos 2\pi\frac{nl}{k}-\sin 2\pi\frac{nl}{k} }
         {z_0\sin 2\pi\frac{nl}{k}+\cos 2\pi\frac{nl}{k} }
\end{equation}
Maintenant on sait que l'entier $n$ peut être écrit comme
\begin{equation}
\label{nkdiv}
n = m k + r
\end{equation}
avec $0\leq r < k$. 

En remplaçant cette expression pour $n$ dans~(\ref{thetarat}) on trouve, grâce 
à la périodicité des fonctions sinus et cosinus, $\cos 2\pi ml = 1, \sin 2\pi ml = 0$, que la suite $z_n=z_{mk+r}=z_r$, donc ne peut prendre que $k$ valeurs; c'est une suite périodique, de période $k$--pourvu que $k$ soit un nombre premier. 

\end{proof}
\section{La dynamique de la récurrence de Möbius}\label{dynamMoeb}
Ce que ces propositions ne disent pas est l'ordre, avec lequel les $k$ points, 
$z_0,z_1,\ldots,z_{k-1},z_k=z_0$ sont visités. A cette fin on écrit un programme en Python (cf. Annexe). Le résultat de ce programme, pour $k=5$ et 
$l=1,2,3$ et 4,  est affiché dans la fig.~\ref{Pentagones}.
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.9]{Pentagone.png}
\caption[]{L'itération de l'éq.~(\ref{moebius}) pour $\theta=72, 144, 216$ et 288  degrés.}
\label{Pentagones}
\end{center}
\end{figure}
On peut se rendre compte que, pour $l=1$ et $l=4$, les $k=5$ points sont visités sous la forme ``étoilée'', tandis que, pour $l=2$ et $l=3$ ils sont visités sou la forme ``convexe''. 

Ces résultats sont la motivation pour des questions suivantes:
\begin{enumerate}
\item {\bf Question}: Ces points appartiennent-ils tous au même cercle?
\item {\bf Question}: Si oui, quel est le centre et quel le rayon de ce cercle?
\end{enumerate} 
La réponse à la première question est OUI, ce qui donne un sens à la deuxième.

La réponse à la première question est exprimée par le théorème suivante:
\begin{theo}
Les éléments de la suite, $\{z_n\}$, définie par l'éq.~(\ref{sol}), pour $y_0\neq 0$, appartiennent à un cercle, c.à.d. l'éq.~(\ref{sol}), avec $z_n=x_n+\mathrm{i}y_n$, peut être écrite sous la forme
\begin{equation}
\label{cercle}
\left(x_n-X\right)^2+\left(y_n-Y\right)^2=R^2
\end{equation}
avec $X,Y,R\in\mathbb{R}$, indépendants de $n$. 
\end{theo}
\begin{proof}
La démonstration est constructive: L'éq.~(\ref{sol}) peut être écrite comme
\begin{equation}
\label{sol1}
(z_nz_0+1)\sin(n\theta)+(z_n-z_0)\cos(n\theta)=0
\end{equation}
qui représente deux équations, en variables réelles:
\begin{equation}
\label{sol2}
\begin{array}{l}
\displaystyle
(x_nx_0-y_ny_0+1)\sin(n\theta)+(x_n-x_0)\cos(n\theta)=0\\
\displaystyle
(y_nx_0+x_ny_0)\sin(n\theta)+(y_n-y_0)\cos(n\theta)=0
\end{array}
\end{equation}
Chacune de ces équations donne une expression de $\sin(n\theta)/\cos(n\theta)=\tan(n\theta)$; les deux expressions doivent, bien entendu, être cohérentes:
\begin{equation}
\label{tantheta}
\frac{\sin(n\theta)}{\cos(n\theta)}=-\frac{x_n-x_0}{x_nx_0-y_ny_0+1}=\frac{\sin(n\theta)}{\cos(n\theta)}=-\frac{y_n-y_0}{y_nx_0+x_ny_0}
\end{equation}
Cette identification implique que 
\begin{equation}
\label{sol3}
x_n^2y_0+y_n^2y_0-y_n(x_0^2+y_0^2+1)+y_0=0
\end{equation}
Cette équation doit être valable quelle que soit la valeur de $n$, en particulier, $n=0$. On trouve immédiatement que, pour $n=0$, elle prend la forme
\begin{equation}
\label{sol3checkn=0}
y_0\left(x_0^2+y_0^2-x_0^2-y_0^2-1+1\right)=0
\end{equation}
quelle que soit la valeur de $y_0$. 

Maintenant on écrit éq.~(\ref{sol3}) comme suit:
\begin{equation}
\label{sol4}
\begin{array}{l}
\displaystyle
y_0\left(x_n^2+y_n^2-2y_n\frac{x_0^2+y_0^2+1}{2y_0}+1\right)=0\Leftrightarrow\\
\displaystyle
y_0\left( x_n^2+\left(y_n-\frac{x_0^2+y_0^2+1}{2y_0}\right)^2+1-\left(\frac{x_0^2+y_0^2+1}{2y_0}\right)^2\right)=0
\end{array}
\end{equation}
On laisse de côté le cas $y_0=0$, alors, le deuxième facteur doit s'annuler:
\begin{equation}
\label{sol5}
x_n^2+\left(y_n-\frac{x_0^2+y_0^2+1}{2y_0}\right)^2=\left(\frac{x_0^2+y_0^2+1}{2y_0}\right)^2-1
\end{equation}
qui est l'équation d'un cercle, de centre $(X,Y)=(0,(x_0^2+y_0^2+1)/(2y_0))$ et de rayon
\begin{equation}
\label{rayon2}
R^2 = \left(\frac{x_0^2+y_0^2+1}{2y_0}\right)^2-1
\end{equation}
pourvu que le membre de droite soit non--négatif pour toute valeur réelle des variables $x_0$ et $y_0$--et $y_0\neq 0$. 

En effet, on note qu'il est la différence de deux carrés, alors:
\begin{equation}
\label{rayon2fact}
\left(\frac{x_0^2+y_0^2+1}{2y_0}\right)^2-1=\frac{1}{4y_0^2}( x_0^2+y_0^2+1+2y_0)(x_0^2+y_0^2+1-2y_0)=\frac{1}{4y_0^2}(x_0^2+(y_0+1)^2)(x_0^2+(y_0-1)^2) \geq  0
\end{equation}
pourvu que $x_0\neq 0$ et $y_0\neq\pm 1$.

On note que, pour le cas du point de départ $(x_0,y_0)=(1,1)$, le centre est $(X,Y)=(0,3/2)$ et le rayon $R=\sqrt{5}/2$. 
\end{proof}
\section{La répartition des sommets des polygones sur le cercle}\label{sommets}
Maintenant on va s'intéresser sur la répartition des sommets du polygone, défini
par les points $\{z_n\}$. 

Dans la fig.~\ref{Sommets} on affiche les sommets pour $k=5,71$ et 72. 
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.5]{Pentagone.png}}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.5]{71agone.png}}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.5]{72agone.png}}
\end{center}
\caption[]{Les sommets du pentagone ($k=5$), du  71--agone ($k=71$) et du 
72--agone ($k=72$), générés par la suite $\{z_n\}$. On note que les sommets ne sont pas uniformément répartis sur le cercle.}
\label{Sommets}
\end{figure}
On remarque que les sommets ne sont pas uniformément répartis sur le cercle et l'on cherche à modéliser ceci. 

Le fait que les points $z_n = x_n + \mathrm{i}y_n$ se trouve sur le cercle, défini par les équations~(\ref{sol5}) et~(\ref{rayon2}) implique que 
\begin{equation}
\label{sommetsCercle}
\begin{array}{l}
\displaystyle 
x_n = X + R\cos\phi_n\\
\displaystyle
y_n = Y + R\sin\phi_n
\end{array}
\end{equation}
où la phase $\phi_n$ est donnée par l'expression
\begin{equation}
\label{phasesommets}
\phi_n = \tan^{-1}\frac{y_n - Y}{x_n-X}
\end{equation}
Cette expression définit, en fait, $\phi_n$ comme fonction de 
$\theta_n$. Maintenant les valeurs de
 $\theta_n$ {\em sont} uniformémement répartis dans l'intervalle
$0\leq n\leq k$. Par conséquent, 
si $\phi_n$ était donnée par une expression de la forme 
\begin{equation}
\label{phaselin}
\phi_n = 2\pi\frac{n}{k} + \phi_0
\end{equation}
alors les sommets seraient uniformément répartis. Tout écart de la droite est, 
ainsi, une indication d'une répartition non--uniforme. 

On trace l'éq.~(\ref{phasesommets}) dans la fig.~\ref{Phasesommets}.
\begin{figure}
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.7]{phidetheta.png}
\end{center}
\caption[]{La phase, $\phi_n$, comme fonction de l'angle du sommet 
$\theta_n=2\pi n /k,n= 
0,1,2,\ldots,k$, pour $k=5,7,71,72$ et 1001.}
\label{Phasesommets}
\end{figure} 
On peut noter que la courbe $\phi_n(\theta_n)$ n'est pas une droite--mais elle affiche un comportement périodique! En plus, on remarque que les points pour 
$k=71,72,1001$ semblent appartenir à la {\em même} courbe. 

On affiche dans la fig.~\ref{phipremiers} les courbes pour $k=5,17,29$ et 41 à part des $k=7,11,43$ pour essayer de mettre en évidence s'il y aurait une différence entre $k$ premier de la forme $4q-1$ et $4q+1$. On note que $k=5$ semble se 
comporter différemment des autres.
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.5]{phi_k=4q+1.png}}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.5]{phi_k=4q-1.png}}
\end{center}
\caption[]{Les courbes $\phi_n(\theta_n)$, pour $k=5,17,29,41$ et $k=7,11,43$. 
On note que $k=5$ a un comportement à part.}
\label{phipremiers}
\end{figure}
\section{Les domaines obscurs}\label{obscurs}
On va, maintenant, s'intéresser, au cas, où $\theta$ n'est pas constant, mais change, en fonction de l'indice de l'itération. Le cas  le plus simple c'est lorsque $\theta$ prend un nombre fini de valeurs. 

Le premier cas est si $\theta=\theta_0=2\pi\,l_0/k_0,$ lorsque $n$ est pair et $\theta=\theta_1=2\pi\,l_1/k_1,$ lorsque $n$ est impair. Le code est affiché dans l'annexe~\ref{pythonobsc}.

Ce qui mérite d'être remarqué est comment est réalisé le choix pour la valeur de $\theta$. La ligne pertinente du code Python~dans l'annexe~\ref{pythonobsc} est 
\begin{verbatim}
theta = (i%2)*theta1 + (1-(i%2))*theta0
\end{verbatim}
Dans cette ligne ${\tt i\%2}$ exprime le reste de la division de l'entier ${\tt i}$ par 2; qui ne peut prendre, donc, que deux valeurs, 0, lorsque ${\tt i}$ est pair et 1, lorsqu'il est impair. Si ${\tt i}$ est pair, on se rend compte que $\theta=\theta_0$ et, si ${\tt i}$ est impair, on trouve que $\theta=\theta_1$. 

Dans le cas où $\theta=2\pi l/k$, quelle que soit l'indice, on a trouvé que, puisque la solution de la récurrence était une fonction de $n\theta=2\pi nl/k$, alors, la suite était périodique, avec période $k$. Dans le cas actuel on peut montrer que la suite est périodique, aussi, mais la période est différente:
\begin{theo}
\label{perobscur}
La solution de la récurrence, $z_n$, lorsque $\theta=\theta_0=2\pi\,l_0/k_0,$ pour $n$  pair et $\theta=\theta_1=2\pi\,l_1/k_1,$ pour $n$  impair est donnée par l'expression
\begin{equation}
\label{solobscur}
z_{2n}=\frac{z_0\cos[n(\theta_0+\theta_1)]-\sin[n(\theta_0+\theta_1)]}{z_0\sin[n(\theta_0+\theta_1)]+\cos[n(\theta_0+\theta_1)]}
\end{equation}
Par conséquent, la période de la suite est 
\begin{equation}
\label{perobscurT}
z_T=z_0\Leftrightarrow T = 2k_0k_1
\end{equation}
\end{theo}
\begin{proof}
La démonstration est similaire à celle de la Proposition~\ref{thetaconstante}, à savoir, par récurrence:
\begin{enumerate}
\item On démontre que l'expression~(\ref{solobscur}) est solution de la récurrence, lorsque $n=0:$
\begin{equation}
\label{z2n0}
z_{2\times 0} = \frac{ z_0\cos[0]-\sin[0] }
                                { z_0\sin[0]+\cos[0] } \stackrel{?}{=} z_0
\end{equation}
\item On fait l'hypothèse que l'expression~(\ref{solobscur}) est solution de la récurrence, lorsque $n=p>0$ et l'on va démontrer 
que l'expression déduite, lorsque l'on y remplace $p$ par $p+1$, c.à.d. $z_{2p+2}$ est, aussi, solution de la récurrence. C.à.d.
on cherche à montrer que 
\begin{equation}
\label{z2pplus2}
z_{2p+2}=\frac{ z_0\cos[(p+1)(\theta_0+\theta_1)]-\sin[(p+1)(\theta_0+\theta_1)] }
                        { z_0\sin[(p+1)(\theta_0+\theta_1)]+\cos[(p+1)(\theta_0+\theta_1)] } \stackrel{?}{=}
                 \frac{ z_{2p+1}\cos[\theta_0]-\sin[\theta_0] }
                        { z_{2p+1}\sin[\theta_0] + \cos[\theta_0]} 
\end{equation}
où $z_{2p+1}$ est donné par l'expression
\begin{equation}
\label{z2pplus1}
z_{2p+1} = \frac{ z_{2p}\cos[\theta_1]-\sin[\theta_1] }
                         { z_{2p}\sin[\theta_1] + \cos[\theta_1]}
\end{equation} 
{\tt texte à ajouter pour expliquer pourquoi ces relations sont des identités} 
\end{enumerate}
En ce qui concerne la période: La suite sera périodique si l'on pourra trouver un entier $T = 2n,$ tel que $z_T = z_0,$ c.à.d. tel que 
\begin{equation}
\label{Tperiod}
n(\theta_0 + \theta_1) = 2\pi m \Leftrightarrow 2\pi n\frac{l_0 k_1 + l_1 k_0}{k_0 k_1} = 2\pi m
\end{equation}
avec $m$ entier. {\tt Expliquer quelle est la valeur de l'entier $m$, lorsque $n=k_0 k_1,$ et pourquoi ceci  implique que $T=2k_0 k_1$.}
\end{proof}
\begin{corr}
Les éléments d'ordre impair, $z_{2n+1}$ sont donnés par l'expression
\begin{equation}
\label{z2n1}
z_{2n+1}=\frac{z_{2n}\cos\theta_1-\sin\theta_1}{z_{2n}\sin\theta_1+\cos\theta_1}
\end{equation}
\end{corr}
On trace le résultat, lorsque $k_0=5, l_0=1, k_1=7,l_1=1$ et $z_0=(1,1)$, dans la fig.~\ref{5x7obscure}. 
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{5x7.png}
\caption[]{Les éléments de la suite, $\{z_n\},$ pour $k_0=5, l_0=1, k_1=7, l_1=1$ et $z_0=(1,1)$. On remarque l'apparition d'une région ovale blanche, c.à.d. qui n'est pas traversée par les lignes rouges, qui indiquent la trajectoire. Cette région ovale est, alors, ``invisible''.}
\label{5x7obscure}
\end{center}
\end{figure}
On remarque l'apparition d'une région ovale ``blanche''. On cherche à comprendre comment sa taille dépend des autres paramètres, c.à.d $l_0$ et $l_1.$ On sait que 
\begin{equation}
\label{l0l1}
\theta_0+\theta_1=2\pi\frac{l_0k_1+l_1k_0}{k_0k_1}
\end{equation}
donc on a intérêt à ce que $l_0$ et $l_1$ n'aient pas de facteurs communs entre eux. 

On affiche, alors, dans la fig.~\ref{5x7obscure2x3}, le cas, où $l_0=2$ et $l_1=3$.
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{5x7_2x3.png}
\caption[]{Les éléments de la suite, $\{z_n\},$ pour $k_0=5, l_0=2, k_1=7, l_1=3$ et $z_0=(1,1)$. .}
\label{5x7obscure2x3}
\end{center}
\end{figure}
et l'on peut constater que la région ovale est beaucoup plus grande. 

Mais il se passe quelque chose assez intéressante, si l'on choisit $l_0=2$ et $l_1=5$--cf. fig.~\ref{5x7_l0l1}:
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{5x7_l0l1.png}
\caption[]{Les éléments de la suite $\{z_n\}$, pour $(l_0,l_1)=(2,3),(2,5)$ et $(1,1)$ et $z_0=(1,1).$}
\label{5x7_l0l1}
\end{center}
\end{figure}
On remarque que l'ovale ``verte'' est beaucoup plus grande que l'ovale ``rouge''; mais l'ovale ``bleue'' a une taille entre les deux. Ce qui pousse à réfléchir sur la question 
de quel est la manière ``naturelle'' d'ordonner les paires $(l_0,l_1)$, d'après la taille de l'ovale. 

Une autre question est que se passe-t-il, lorsque $k_0$ et $k_1-$plus précisément leur produit $k_0 k_1-$augmente.

Un début de réponse est présentée dans la fig.~\ref{5xp}, où l'on affiche le voisinage de la région ``ovale'', pour $l_0=l_1=1,$ $k_0=5$ et $k_1=17,29,37,41,$ c.à.d. des nombres premiers de la forme $4q+1.$
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.5]{5xpbig.png}}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.5]{5xp.png}}
\caption[]{Le voisinage de la région ``ovale'', pour $k_0=5$ et $k_1=17,29,37,41.$}
\end{center}
\label{5xp}
\end{figure} 
\appendix
\section{Le code Python}\label{python}
Dans cet annexe on présente le code Python, qui produit les données, affichées dans la fig.~\ref{Pentagones}.

Le code a la structure suivante:
\begin{verbatim}
from math import sin, cos, radians

theta = input() 
theta = radians(theta)


x = input()
y = input()

z = complex(x,y)

i = 0

print i, z.real, z.imag

k = input()

for i in range(1,k):
    z1 = (cos(theta)*z-sin(theta))/(sin(theta)*z+cos(theta))
    print i, z1.real, z1.imag
    z =z1
\end{verbatim}

\section{Le code Python pour les domaines obscurs}\label{pythonobsc}
\begin{verbatim}
Dans cet annexe on affiche le code pour le cas, où  $\theta=\theta_0=2\pi\,l_0/k_0,$ lorsque $n$ est pair et $\theta=\theta_1=2\pi\,l_1/k_1,$ lorsque $n$ est impair. 
from math import sin, cos, acos, atan


k0 = input()
l0 = input()

theta0 = 2.0*acos(-1.0)*l0/k0

k1 = input()
l1 = input()

theta1 = 2.0*acos(-1.0)*l1/k1

x = input()
y = input()

Xcentre = 0.0
Ycentre = (x**2+y**2+1.0)/(2.*y)

z = complex(x,y)

i = 0

print i, z.real, z.imag


for i in range(1,2*k0*k1+1):
    theta = (i%2)*theta1 + (1-(i%2))*theta0
    z1 = (cos(theta)*z-sin(theta))/(sin(theta)*z+cos(theta))
    print i, z1.real, z1.imag
    z =z1
\end{verbatim}




\end{document}



\subsection{Les trois lois de Newton}\label{N3lois}
Les trois lois de Newton sont les suivantes:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Un corps, sur laquelle n'agit aucune force garde sa vitesse constante.
\item[$\bullet$] La deuxième loi: 
\begin{equation}
\label{2loi}
F = ma
 \end{equation}
\item[$\bullet$] La troisième loi:
\begin{equation}
\label{3loi}
\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}
\end{equation}
\end{itemize}
La deuxième loi de Newton~(\ref{2ln})~\cite{Newton} 
\begin{equation}
\label{2ln}
F=ma
\end{equation}
appliquée au cas de la loi de Coulomb~(\ref{coulomb}) 
\begin{equation}
\label{coulomb}
{\bf F}_{12}=
\frac{Q_1Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}^2}\widehat{\bf r}_{12}
\end{equation}
\newpage
\section{Quelques solutions particulières}\label{solpart}
\subsection{Le cas de l'accélération constante}\label{constacc}
%On peut résoudre les équations du mouvement, pour le cas où l'accélération est constante, ${\bf a}={\bf a}_0$:
\begin{theo}
La solution des équations 
\begin{equation}
\label{eqdumvt}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{d\vec{x}}{dt} = \vec{v}\\
%\frac{d{\bf x}}{dt}={\bf v}\\
\\
\displaystyle
%\frac{d{\bf v}}{dt}={\bf a}
\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a}_0
\end{array}
\end{equation}
peut être trouvée explicitement, si $\vec{a}_0$ est un vecteur constant.
\end{theo}
\begin{proof}
\begin{equation}
\label{vitesse}
%{\bf a}_0 = \frac{d{\bf v}}{dt}\Leftrightarrow {\bf v}(t) = {\bf v}(0) + {\bf a}_0 t
\vec{a}_0 = \frac{d\vec{v}}{dt}\Leftrightarrow 
\vec{v}(t) = \vec{v}(0) + \vec{a}_0 t
\end{equation}
et 
\begin{equation}
\label{position}
%{\bf v}(t) = {\bf v}(0) + {\bf a}_0 t = \frac{d{\bf x}}{dt}\Leftrightarrow 
%{\bf x}(t) = {\bf x}(0) + {\bf v}(0)t + \frac{1}{2}{\bf a}_0 t^2
\vec{v}(t) = \vec{v}(0) + \vec{a}_0 t = \frac{d\vec{x}}{dt}\Leftrightarrow 
\vec{x}(t) = \vec{x}(0) + \vec{v}(0)t + \frac{1}{2}\vec{a}_0 t^2
\end{equation}
\end{proof}
Ces équations sont affichées dans la figure~\ref{solutions} pour le cas 
particulier $\vec{x}(0)=(0,0,0)$, $\vec{v}(0)=(0,0,0)$ et $\vec{a}_0=(2D/t_D^2,0,0)$.
\begin{figure}
\begin{center}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.6]{position0.png}}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.6]{vitesse0.png}}
\caption[]{La position et la vitesse d'un point matériel uniformémement accéléré.}
\label{solutions}
\end{center}
\end{figure}
Si l'accélération change de $a_0$ à $a_1$ à $t=t_D$, les courbes deviennent~cf. fig.~\ref{solutions1}.
\begin{figure}
\begin{center}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.6]{position1.png}}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.6]{vitesse1.png}}
\caption[]{La position et la vitesse d'un point matériel uniformémement accéléré, lorsqu'elle est décélérée avec $a_1/a_0=-0.2$.}
\label{solutions1}
\end{center}
\end{figure}
Les expressions peuvent être écrites comme
\begin{equation}
\label{allsol}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{x(t)}{D} = \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left(\frac{t}{t_D}\right)^2,\hskip1truecm 0\leq t\leq t_D\\
\displaystyle 1 + 2\left(\frac{t}{t_D}-1\right) + \frac{1}{2}\frac{a_1}{a_0}\left(\frac{t}{t_D}-1\right)^2\,\hskip1truecm t_D\leq t
\end{array}
\right.\\
\displaystyle
\frac{v(t)}{a_0t_D}= \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \hskip1truecm 0\leq t\leq t_D\\
\displaystyle \hskip1truecm t_D\leq t 
\end{array}
\right.
\end{array}
\end{equation}
%\section{Description de l'expérience}\label{manip}
%\subsection{Première partie}\label{1partie}
%\newpage
%\subsection{Deuxième partie}\label{2partie}
\newpage
%\section{Traitement des mesures}\label{traitement}
\newpage
%\subsection{La partie informatique}\label{info}
%\newpage
%\subsection{La partie analytique}\label{maths}
%\newpage
%\section{Conclusions}\label{concl}
%\newpage
\section{Bibliographie}\label{biblio}
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Newton} I. Newton, {\em Principia Mathematica} (1687).
\bibitem{ExoM} \href{https://celene.univ-tours.fr/mod/resource/view.php?id=342982}{L'énoncé du TD1}
\end{thebibliography}


\end{document}
