\documentclass[12pt]{article}
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\usepackage{subfigure} % pour pouvoir afficher plusieurs graphes au sein de la même figure
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\newtheorem{theo}{Théorème}
\newtheorem{prop}{Proposition}

\begin{document}

\begin{titlepage}
\begin{center}
\begin{large}
{\bf Les transformations de Möbius}
\end{large}

\vskip1.0truecm


Stamatios Nicolis\footnote{E-Mail: stamatios.nicolis@univ-tours.fr}

\vskip1.0truecm

{\em 
Département de Physique\\
Université de Tours\\
Parc Grandmont, 37200 Tours, France
}

\end{center}

\vskip2.0truecm

\begin{abstract}
Quelques exemples des transformations de Möbius.
\end{abstract}
\end{titlepage}

\tableofcontents
\newpage
\section{Introduction}\label{intro}
Les transformations de Möbius sont définies par 
\begin{equation}
\label{moebius}
z_{n+1}=\frac{az_n+b}{cz_n+d}
\end{equation}
Un cas particulier est celui où $ad-bc=1$. Cette relation peut être représentée par $a=\cos\theta=d, b=-c=-\sin\theta$.

Dans ce cas on peut ``résoudre'' la récurrence, dans le sens que l'on peut exprimer $z_n$ en termes uniquement de $z_0$ et de $n$, sans devoir calculer tous les termes $z_1,z_2,\ldots,z_{n-1}$ de la suite qui précèdent $z_n$. Ceci est le résultat de la proposition suivante.
\begin{prop}\label{trigomoebius}
  La solution de la r\'ecurrence~(\ref{moebius}), lorsque $a=\cos\theta=d, b=-c=-\sin\theta$, est donn\'ee par l'expression
\begin{equation}
\label{sol}
z_n = \frac{z_0\cos(n\theta)-\sin(n\theta)}{z_0\sin(n\theta)+\cos(n\theta)}
\end{equation}
\end{prop}
\begin{proof}
\begin{enumerate}
\item On montre que l'expression~(\ref{sol}) est valable pour $n=0$:
\begin{equation}
\label{n=0}
z_0 = \frac{z_0\cos(0)-\sin(0)}{z_0\sin(0)+\cos(0)} = z_0
\end{equation}
\item On fait l'hypothèse que l'expression~(\ref{sol}) est valable pour $n=p>0$ et l'on veut montrer qu'elle implique que 
\begin{equation}
\label{p2pplus1}
z_{p+1}=\frac{z_0\cos[(p+1)\theta]-\sin[(p+1)\theta]}{z_0\sin[(p+1)\theta]+\cos[(p+1)\theta]} \stackrel{?}{=} 
\frac{z_p\cos\theta-\sin\theta}{z_p\sin\theta+\cos\theta}
\end{equation}
Pour établir cette dernière égalité, il suffit de remplacer dans le membre de droite de l'éq.~(\ref{p2pplus1}) l'expression pour $z_p$, donné par l'éq.~(\ref{sol}), pour laquelle on fait l'hypothèse qu'elle est valable pour $n=p$. Le résultat est la conséquence d'algèbre triviale, qui est basée sur les identités
\begin{equation}
\label{trigo}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\cos[(p\pm 1)\theta] = \cos(p\theta)\cos\theta \mp \sin(p\theta)\sin\theta\\
\displaystyle
\sin[(p\pm 1)\theta] = \sin(p\theta)\cos\theta \pm  \cos(p\theta)\sin\theta
\end{array}
\end{equation}
\end{enumerate}
\end{proof}  
Le résultat de cette proposition est que $z_n$ est une fonction de l'angle 
$\theta$, qui est supposé connu. Un cas particulier est, lorsque $\theta$ n'est pas un nombre réel quelconque, mais est une fraction de $2\pi$, la période des fonctions trigonométriques, c.à.d.
\begin{equation}
\label{thetarationnel}
\frac{\theta}{2\pi}=\frac{l}{k}
\end{equation}
avec $l,k\in\mathbb{N}$. Dans ce cas la suite $\{z_n\}$ est périodique, avec période $k$, conséquence du théorème suivant.
\begin{theo}
Si $\theta$ est un multiple rationnel de 2$\pi$,$\theta=2\pi l/k$, avec $l,k\in\mathbb{N}$, alors la suite $\{z_n\}$ est périodique avec période $k$. 
\end{theo}
\begin{proof}
On peut exprimer l'entier $n$, de  façon unique, comme 
\begin{equation}
\label{ndivk}
n = m k + r
\end{equation}
avec $m,r\in\mathbb{N}$ et $0\leq r < k$. 

Par conséquent, l'argument des fonctions trigonométriques dans l'éq.~(\ref{sol}) devient
\begin{equation}
\label{angle}
2\pi n \frac{l}{k} = 2\pi (mk +r)\frac{l}{k}= 2\pi m l + 2\pi r \frac{l}{k}
\end{equation}
Or le cosinus et le sinus sont des fonctions périodiques, avec période $2\pi$. Par conséquent,
\begin{equation}
\label{zn2zz}
z_n = z_{mk + r} = z_r
\end{equation}
ce qui implique que la suite $\{z_n\}$ ne prend que $k$ valeurs distinctes, 
$z_0,z_1,z_2,\ldots,z_{k-1}$ et $z_n = z_{n+k}$, pour toute valeur de $n$. 
\end{proof}
Ce théorème implique que seulement les éléments $z_0,z_1,z_2,\ldots,z_{k-1}$ sont des points visibles, lorsque l'on affichera ces éléments sur le plan complexe.
Mais il ne dit rien sur la forme du polygone, à $k$ sommets, ainsi généré. Comment sa forme dépend de l'entier $l$, pour $k$ fixe, reste à étudier.

On peut montrer une proposition similaire à la Proposition~\ref{trigomoebius}, lorsque $a=d=\cosh\phi$ et 
$b=c=\sinh\phi$ (qui, aussi, satisfont $ad-bc=1,$ puisque $\cosh^2\phi-\sinh^2\phi=1$).  Dans ce cas $\phi$ prend toutes les valeurs réelles, puisque les fonctions hyperboliques n'ont pas de période réelle.

\begin{prop}\label{hypmoebius}
La solution de la récurrence 
\begin{equation}
\label{hyp}
z_{n+1}=\frac{z_n\cosh\phi + \sinh\phi}{z_n\sinh\phi+\cosh\phi}
\end{equation}
est donnée par l'expression
\begin{equation}
\label{hypsol}
z_n = \frac{z_0\cosh(n\phi)+\sinh(n\phi)}{z_0\sinh(n\phi)+\cosh(n\phi)}
\end{equation}
\end{prop} 
\begin{proof}
On établit la validité de l'éq.~(\ref{hypsol}) par récurrence: 

On note, facilement, que, pour $n=0,$ $z_0=z_0$ et que 
\begin{equation}
\label{step1}
z_1 = \frac{z_0\cosh\phi+\sinh\phi}{z_0\sinh\phi+\cosh\phi}
\end{equation}
est la même expression, qu'elle soit obtenue par l'éq.~(\ref{hyp}) ou par l'éq.~(\ref{hypsol}). 

On fait, maintenant, l'hypothèse que l'expression~(\ref{hypsol}) est la solution de la récurrence~(\ref{hyp}) pour un $n$ quelconque et l'on va montrer que $z_{n+1},$ obtenue par l'éq.~(\ref{hypsol}), est la même que l'epxression obtenue en remplaçant $z_n$ dans  l'éq.~(\ref{hyp}). 

On trouve, en effet, que c'est la même, grâce aux identités 
\begin{equation}
\label{hypident}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\cosh[(n+1)\phi]=\cosh(n\phi)\cosh\phi+\sinh(n\phi)\sinh\phi\\
\displaystyle
\sinh[(n+1)\phi]=\sinh(n\phi)\cosh(\phi)+\cosh(n\phi)\sinh(\phi)
\end{array}
\end{equation}
\end{proof}
Une conséquence de ces propositions est que, dans ces deux cas, on n'a pas besoin de produire tous les éléments de la suite $\{z_n\},$ pour $n=1,2,\ldots,n-1,$
pour trouver $z_n;$ on peut déterminer $z_n$ seulement à partir de $z_0$ et de la valeur de $n.$

Dans la section, qui suit, on va explorer les premières conséquences de cette simplification. 

\section{Quelques propriétés de la suite $\{z_n\}$ pour le cas des coefficients trigonométriques}\label{coeffstrigo}
On peut poser les questions suivantes, à propos de l'expression 
\begin{equation}
\label{zntrigo}
z_n=\frac{z_0\cos(n\theta)-\sin(n\theta)}{z_0\sin(n\theta)+\cos(n\theta)}
\end{equation} 
\begin{enumerate}
\item Est-il possible que $z_n=0?$
\item Est-il possible que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\,z_n=\infty?$
\item Est-il possible que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\,z_n=0?$
\item Est-il possible que $z_n=0/0$ ou $z_n=\infty/\infty$ pour des valeurs particulières de l'indice $n$?
\end{enumerate}
On peut répondre à ces questions de la manière suivante:
\begin{enumerate}
\item
\item
\item
\item
\end{enumerate}
\section{Quelques propriétés de la suite $\{z_n\}$ pour le cas des coefficients hyperboliques}\label{coeffshyper}
On peut poser les questions suivantes, à propos de l'expression 
\begin{equation}
\label{znhyp}
z_n=\frac{z_0\cosh(n\phi)+\sinh(n\phi)}{z_0\sinh(n\phi)+\cos(n\phi)}
\end{equation} 
\begin{enumerate}
\item Est-il possible que $z_n=0?$
\item Est-il possible que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\,z_n=\infty?$
\item Est-il possible que $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\,z_n=0?$
\item Est-il possible que $z_n=0/0$ ou $z_n=\infty/\infty$ pour des valeurs particulières de l'indice $n$?
\end{enumerate}
On peut répondre à ces questions de la manière suivante:
\begin{enumerate}
\item
\item
\item
\item
\end{enumerate}
\appendix
\section{Quelques points techniques}\label{techannexe}
On peut imposer un espace horizontal dans une équation avec la commande {\tt hskip} de la façon suivante, dans un environnement mathématique:
\begin{verbatim}
\begin{equation}
\label{slash}
D\hskip-0.27truecm/
\end{equation}
\end{verbatim}
qui donne le résultat
\begin{equation}
\label{slash}
D\hskip-0.27truecm/
\end{equation}
L'équation de Dirac pour un électron dans un champ électromagnétique a la forme suivante
\begin{verbatim}
\begin{equation}
\label{dirac}
\mathrm{i}\left(\eta^{\mu\nu}\gamma_\mu\partial_\nu-\right.\\
\left.
q\eta^{\mu\nu}\gamma_\mu A_\nu\right)\psi=0\Leftrightarrow
\mathrm{i}D\hskip-0.27truecm/\,\psi=0
\end{equation}
\end{verbatim}
\begin{equation}
\label{dirac}
\mathrm{i}\left(\eta^{\mu\nu}\gamma_\mu\partial_\nu-\right.\\
\left.q\eta^{\mu\nu}\gamma_\mu A_\nu\right)\psi=0
\Leftrightarrow
\mathrm{i}D\hskip-0.27truecm/\,\psi=0
\end{equation}
\end{document}
Si $\theta/360=l/k$, avec $l,k\in\mathbb{N}$, l'itération est périodique; sinon elle est non-périodique. Un exemple est donné en fig.~\ref{Pentagone}
\begin{figure}[thp]
\begin{center}
\includegraphics[scale=0.5]{Pentagones.png}
\caption[]{L'itération de l'éq.~(\ref{moebius}) pour $\theta=72$ et $\theta = 72.1$ degrés.}
\label{Pentagone}
\end{center}
\end{figure}
\end{document}

\subsection{Les trois lois de Newton}\label{N3lois}
Les trois lois de Newton sont les suivantes:
\begin{itemize}
\item[$\bullet$] Un corps, sur laquelle n'agit aucune force garde sa vitesse constante.
\item[$\bullet$] La deuxième loi: 
\begin{equation}
\label{2loi}
F = ma
 \end{equation}
\item[$\bullet$] La troisième loi:
\begin{equation}
\label{3loi}
\vec{F}_{12}=-\vec{F}_{21}
\end{equation}
\end{itemize}
La deuxième loi de Newton~(\ref{2ln})~\cite{Newton} 
\begin{equation}
\label{2ln}
F=ma
\end{equation}
appliquée au cas de la loi de Coulomb~(\ref{coulomb}) 
\begin{equation}
\label{coulomb}
{\bf F}_{12}=
\frac{Q_1Q_2}{4\pi\varepsilon_0 r_{12}^2}\widehat{\bf r}_{12}
\end{equation}
\newpage
\section{Quelques solutions particulières}\label{solpart}
\subsection{Le cas de l'accélération constante}\label{constacc}
%On peut résoudre les équations du mouvement, pour le cas où l'accélération est constante, ${\bf a}={\bf a}_0$:
\begin{theo}
La solution des équations 
\begin{equation}
\label{eqdumvt}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{d\vec{x}}{dt} = \vec{v}\\
%\frac{d{\bf x}}{dt}={\bf v}\\
\\
\displaystyle
%\frac{d{\bf v}}{dt}={\bf a}
\frac{d\vec{v}}{dt}=\vec{a}_0
\end{array}
\end{equation}
peut être trouvée explicitement, si $\vec{a}_0$ est un vecteur constant.
\end{theo}
\begin{proof}
\begin{equation}
\label{vitesse}
%{\bf a}_0 = \frac{d{\bf v}}{dt}\Leftrightarrow {\bf v}(t) = {\bf v}(0) + {\bf a}_0 t
\vec{a}_0 = \frac{d\vec{v}}{dt}\Leftrightarrow 
\vec{v}(t) = \vec{v}(0) + \vec{a}_0 t
\end{equation}
et 
\begin{equation}
\label{position}
%{\bf v}(t) = {\bf v}(0) + {\bf a}_0 t = \frac{d{\bf x}}{dt}\Leftrightarrow 
%{\bf x}(t) = {\bf x}(0) + {\bf v}(0)t + \frac{1}{2}{\bf a}_0 t^2
\vec{v}(t) = \vec{v}(0) + \vec{a}_0 t = \frac{d\vec{x}}{dt}\Leftrightarrow 
\vec{x}(t) = \vec{x}(0) + \vec{v}(0)t + \frac{1}{2}\vec{a}_0 t^2
\end{equation}
\end{proof}
Ces équations sont affichées dans la figure~\ref{solutions} pour le cas 
particulier $\vec{x}(0)=(0,0,0)$, $\vec{v}(0)=(0,0,0)$ et $\vec{a}_0=(2D/t_D^2,0,0)$.
\begin{figure}
\begin{center}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.6]{position0.png}}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.6]{vitesse0.png}}
\caption[]{La position et la vitesse d'un point matériel uniformémement accéléré.}
\label{solutions}
\end{center}
\end{figure}
Si l'accélération change de $a_0$ à $a_1$ à $t=t_D$, les courbes deviennent~cf. fig.~\ref{solutions1}.
\begin{figure}
\begin{center}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.6]{position1.png}}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.6]{vitesse1.png}}
\caption[]{La position et la vitesse d'un point matériel uniformémement accéléré, lorsqu'elle est décélérée avec $a_1/a_0=-0.2$.}
\label{solutions1}
\end{center}
\end{figure}
Les expressions peuvent être écrites comme
\begin{equation}
\label{allsol}
\begin{array}{l}
\displaystyle
\frac{x(t)}{D} = \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \left(\frac{t}{t_D}\right)^2,\hskip1truecm 0\leq t\leq t_D\\
\displaystyle 1 + 2\left(\frac{t}{t_D}-1\right) + \frac{1}{2}\frac{a_1}{a_0}\left(\frac{t}{t_D}-1\right)^2\,\hskip1truecm t_D\leq t
\end{array}
\right.\\
\displaystyle
\frac{v(t)}{a_0t_D}= \left\{
\begin{array}{l}
\displaystyle \hskip1truecm 0\leq t\leq t_D\\
\displaystyle \hskip1truecm t_D\leq t 
\end{array}
\right.
\end{array}
\end{equation}
%\section{Description de l'expérience}\label{manip}
%\subsection{Première partie}\label{1partie}
%\newpage
%\subsection{Deuxième partie}\label{2partie}
\newpage
%\section{Traitement des mesures}\label{traitement}
\newpage
%\subsection{La partie informatique}\label{info}
%\newpage
%\subsection{La partie analytique}\label{maths}
%\newpage
%\section{Conclusions}\label{concl}
%\newpage
\section{Bibliographie}\label{biblio}
\begin{thebibliography}{99}
\bibitem{Newton} I. Newton, {\em Principia Mathematica} (1687).
\bibitem{ExoM} \href{https://celene.univ-tours.fr/mod/resource/view.php?id=342982}{L'énoncé du TD1}
\end{thebibliography}


\end{document}
