\documentclass{beamer}
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\usepackage{subfigure}
\newtheorem{theo}{Théorème}
\newtheorem{coroll}{Corollaire}
\usetheme{Goettingen}

\title{Les transformations de Möbius}
\author{Stam Nicolis}
\institute{Institut Denis Poisson\\Université de Tours, Université d'Orléans, CNRS}
\date{Tours, le 21 novembre 2018}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Plan}
\tableofcontents
\end{frame}

\section{Les transformations de Möbius}\label{moebius}
\begin{frame}
\frametitle{Les transformations de Möbius}
$$
z' = \frac{az+b}{cz+d}
$$
\pause
On peut se restreindre au cas où $ad-bc=1$ et une solution de cette relation est donnée lorsque $a=\cos\theta_n,b=-\sin\theta_n,c=\sin\theta_n$ et $d=\cos\theta_n.$
On peut prendre $\theta_n=\theta$ pour tout $n$:
$$
z' = \frac{z\cos\theta -\sin\theta}{z\sin\theta +\cos\theta}
$$
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Quelques résultats mathématiques}
\begin{theo}<1->[Résolution] 
La suite $\{z_n\}$, pour le cas des éléments trigonométriques  constants, est donnée par l'expression
$$
z_n = \frac{z_0\cos n\theta + \sin n\theta}{-z_0\sin n\theta + \cos n\theta}
$$
\end{theo}
\begin{coroll}<2->
La suite $\{z_n\},$ est périodique, si $\theta=2\pi l/k,$ avec période $T=k.$ 
\end{coroll}

\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Démonstration}
\begin{proof}
La démonstration suit par récurrence:
\begin{itemize}
\item On montre  que c'est vrai, pour $n=0$.
\pause
\item On montre que, si c'est vrai, pour $n=k$, alors c'est vrai pour $n=k+1$.
\end{itemize}
\end{proof}
\end{frame}

\section{Dynamique des transformations de Möbius}\label{Dynamique}
\begin{frame}
\frametitle{Itérer Möbius}
On peut générer une suite $\{z_n\}$ en appliquant la transformation de Möbius de façon itérée:
$$
z_{n+1} = \frac{az_n+b}{cz_n+d}
$$
à partir d'un point de départ, $z_0$. 
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Mélanger les Möbius}
On peut, aussi, ``mélanger'' les transformations à fonctions trigonométriques
$$
z' = \frac{\cos\theta_n z-\sin\theta_n}{z\sin\theta_n +\cosh\theta_n}
$$
Le cas le plus simple est celui où 
$$
\theta_n=\left\{\begin{array}{l} \theta_1\hskip1truecm n\,\mathrm{pair}\\
                                               \theta_0\hskip1truecm n\,\mathrm{impair}
                                               \end{array}
\right.
$$
\end{frame}
\section{Conclusions}
\begin{frame}
\frametitle{Conclusions}
\begin{itemize}
\item Les transformations de Möbius réalisent une correspondance entre un nombre complexe $z_n$ et un autre nombre complexe $z_{n+1}$. 

Si les coefficients de la transformation peuvent être exprimés en termes 
de fonctions trigonométriques, la correspondance ``hérite'' les propriétés de périodicité de celles-ci: Si $\theta=2\pi/k$, alors, $k\theta=2\pi$ et 
$z_{k}=z_0$, par conséquent, la période est $T=k.$
\pause
\item Si $\theta_n$ prend deux valeurs, de façon alternée, avec des fractions de $2\pi,$ alors ce qui est remarquable est que la suite possède {\em deux périodes},  une 
paire, $T_\mathrm{paire}=2k_0 k_1$ et une, impaire, $2k_0n'+1,$ où $n'$ est l'entier positif le plus petit qui satisfait
$$
1 = mk_1-n'(k_0+k_1)
$$
avec $m$ entier (lorsque $l_0=1=l_1.$)
\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}

\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item<1,3> Ploum!
  \item<2-4> Plim?
  \item Plum...
  \end{itemize}
  \end{frame}
  \end{document}
