\documentclass{beamer}
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\usepackage{subfigure}
\newtheorem{theo}{Théorème}
\newtheorem{coroll}{Corollaire}
\usetheme{Goettingen}

\title{Les transformations de Möbius}
\author{Stam Nicolis}
\institute{Institut Denis Poisson\\Université de Tours, Université d'Orléans, CNRS}
\date{Tours, le 21 novembre 2018}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Plan}
\tableofcontents
\end{frame}

\section{Les transformations de Möbius}\label{moebius}
\begin{frame}
\frametitle{Les transformations de Möbius}
$$
z' = \frac{az+b}{cz+d}
$$
\pause
\begin{itemize}
\item Les transformations à fonctions trigonométriques
\pause
\item Les transformations à fonctions hyperboliques
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Les différentes classes de transformations}
$$
z' = \frac{\cos\theta z+\sin\theta}{-\sin\theta z+\cos\theta}
$$
\pause
$$
z' = \frac{\cosh\phi z+\sinh\phi}{-\sinh\phi z+\cosh\phi}
$$

\end{frame}

\begin{frame}
\frametitle{Quelques résultats mathématiques}
\begin{theo}<1->[Résolution] 
La suite $\{z_n\}$, pour le cas des éléments trigonométriques, est donnée par l'expression
$$
z_n = \frac{z_0\cos n\theta + \sin n\theta}{-z_0\sin n\theta + \cos n\theta}
$$
\end{theo}
\begin{coroll}<2->
La suite $\{z_n\}$, pour le cas des éléments hyperboliques, est donnée par l'expression
$$
z_n = \frac{z_0\cosh n\phi + \sin n\phi}{z_0\sinh n\phi + \cosh n\phi}
$$ 
\end{coroll}

\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Démonstration}
\begin{proof}
La démonstration suit par récurrence:
\begin{itemize}
\item Montrer que c'est vrai, pour $n=0$.
\pause
\item Montrer que; si c'est vrai, pour $n=k$, alors c'est vrai pour $n=k+1$.
\end{itemize}
\end{proof}
\end{frame}


%\end{document}

\section{Introduction}\label{intro}
  \begin{frame}
  \frametitle{C'est quoi les transformations de Môbius?}
Les transformations de Möbius renvoient un nombre complexe $z$ à un autre nombre complexe $z'$:
$$
z' = \frac{az+b}{cz+d}
$$
où $a,b,c,d$ peuvent, aussi, être des nombres complexes. Une condition qu'ils doivent satisfaire est 
$$
ad-bc = 1
$$
  \end{frame}

\section{Du plan à l'espace}\label{stproj}

  \begin{frame}
\frametitle{La projection stéréographique}
On peut associer à un point $z=x+\mathrm{i}y$ du plan complexe un point d'une surface, par exemple, celle de la sphère à rayon 1:
$$
X^2+Y^2+Z^2=1
$$  
projeté à partir du point $(0,0,1)$ sur le plan $Z=0$:
$$
\begin{array}{l}
(0,0,1) + t( (X,Y,Z)-(0,0,1) ) = (tX, tY, t(Z-1)+1)\\
t(Z-1)+1=0\Leftrightarrow t = \frac{1}{1-Z}\Leftrightarrow\\
x = \frac{X}{1-Z}, y = \frac{Y}{1-Z}
\end{array}
$$
  \end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{La transformation inverse}
A partir du point $x(,y)$ du plan complexe, on peut retrouver le point $(X,Y,Z)$ de la surface $S(X,Y,Z)=0$. Pour la sphère on a 
$$
\begin{array}{l}
X = x(1-Z)\\
Y = y(1-Z)\\
S(X,Y,Z)=0\Leftrightarrow x^2(1-Z)^2+y^2(1-Z)^2 + Z^2 = 1 \Leftrightarrow \\
(x^2+y^2)(1-Z)^2 = 1-Z^2\Leftrightarrow\\
x^2+y^2 = \frac{(1-Z^2)}{1-Z^2}=\frac{1+Z}{1-Z}\Leftrightarrow Z = \frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1}
\end{array}
$$
et l'on retrouve, ainsi 
$$
\begin{array}{ccc}
X = \frac{2x}{x^2+y^2+1} & Y = \frac{2y}{x^2+y^2+1} & Z = \frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1} 
\end{array}
$$
\end{frame}
\section{Dynamique des transformations de Möbius}\label{Dynamique}
\begin{frame}
\frametitle{Itérer Möbius}
On peut générer une suite $\{z_n\}$ en appliquant la transformation de Möbius de façon itérée:
$$
z_{n+1} = \frac{az_n+b}{cz_n+d}
$$
à partir d'un point de départ, $z_0$. 
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Le chaos chez Möbius}
\begin{figure}
\subfigure{\includegraphics[scale=0.3]{hypcerclelambda=1.png}}
\pause
\subfigure{\includegraphics[scale=0.3]{moebius_lambda=1.png}}
\end{figure}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Mélanger les Möbius}
On cherche à ``mélanger'' les transformations de Möbius, selon la valeur d'un paramètre, $u$:
\pause
$$
u_{n+1}=\lambda u_n(1-u_n)
$$
avec $1 \leq \lambda\geq 4$.
\begin{figure}
\includegraphics[scale=0.3]{stereo_lambda.png}
\end{figure}
\end{frame}
\section{Conclusions}
\begin{frame}
\frametitle{Conclusions}
\begin{itemize}
\item Les transformations de Möbius réalisent une correspndance entre un nombre complexe $z_n$ et un autre nombre complexe $z_{n+1}$. 

Si les coefficients de la transformation peuvent être exprimés en termes 
de focntions trigonométriques, la correspondance ``hérite'' les propriétés de périodicité de celles-ci: Si $\theta=2\pi/k$, alors, $k\theta=2\pi$ et 
$z_{k}=z_0$. 
\pause
\item
\begin{theo}
Les éléments de la suite $\{z_n\}$ appartiennent à un cercle.
\end{theo}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Conclusions}
\begin{itemize}
\item 
\begin{theo}
Pour le cas des transformations
$$
z_n=\frac{\cosh(n\phi)z_0 + \sinh(n\phi)}{z_0\sinh(n\phi)+\cosh(n\phi)}
$$
la suite $\{z_n\}$ appartient à une hyperbole.
\end{theo}
\end{itemize}
\end{frame}
\begin{frame}
\frametitle{Conclusions}
\begin{itemize}
\item Par l'application stéréographique
$$
\begin{array}{ccc}
X = \frac{2x}{x^2+y^2+1} & Y = \frac{2y}{x^2+y^2+1} & Z = \frac{x^2+y^2-1}{x^2+y^2+1} 
\end{array}
$$
on peut faire correspondre un point du plan complexe $(x,y)$à un point de la sphère $X^2+Y^2+Z^2=1$.

On peut, en fait, réaliser cette correspondance pour n'importe quelle surface, par exemple, l'hyperbolo\"{\i}de à une nappe, $X^2+Z^2-Y^2=1$. Les expressions pour $X(x,y), Y(x,y), Z(x,y)$ sont sensibles à la surface $S(X,Y,Z)=0\Leftrightarrow
S(x(1-Z),y(1-Z),Z)=0$. Ce qui est intéressant est que cette équation pour $Z$ possède la racine $Z=1$, qui correspond au point de projection. 


\end{itemize}
\end{frame}
\end{document}

\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item<1,3> Ploum!
  \item<2-4> Plim?
  \item Plum...
  \end{itemize}
  \end{frame}
  \end{document}
