Le processus de Poisson¹
Le Processus de Poisson est le modèle le plus naturel, dans beaucoup de circonstances, pour décrire le nombre d'évènements qui se sont produits pendant un intervalle de temps donné.
Le processus de Poisson est très bien adapté à la modélisation du nombre de particules émises
par un corps radioactif ou au nombre de clients se présentant à un guichet. Il décrit aussi très bien le nombre de succès dans un très grand nombre de tentatives, quand la probabilité de succès d'une tentative est très faible.
Dans un processus de Poisson, le nombre de tâches effectuées dans un intervalle de temps donné, par exemple le nombre de clients traités à par un guichet de renseignements, suit une loi de probabilité qui a été définie et étudiée par Poisson, appelée Loi de Poisson
Cliquez sur le lien pour les définitions mathématiques.
Un exemple de processus de Poisson : la pêche
Soit
N(t) le nombre de poissons qu'un pêcheur prend dans un intervalle
de temps [0;t]. Supposons les conditions idéales suivantes :
- le nombre de poissons est très grand ;
- il y a autant de poissons susceptibles de mordre à un instant qu'à un autre.
Le processus
(N(t),t > 0) peut être considéré comme un processus de
Poisson :
- les accroissements sont indépendants : la chance de prendre un poisson ne dépend pas du nombre de poissons déjà pris
- il y a stationnarité dans le temps : le pêcheur qui vient d'arriver a d'aussi bonnes chances d'attraper un poisson que celui qui attend depuis deux heures
- enfin, l'hypothèse d'évènements rares est naturelle (on ne
prend pas deux poissons en même temps).
[1] Siméon Denis
POISSON (1781-1840) : Mathématicien, géomètre et physicien né à Pithiviers. Cliquez sur le lien pour consulter la page correspondante de l'encyclopédie
Wikipedia
où l'affiche
résumé.
Le paradoxe de l'Autobus
Traditionnellement on parle de paradoxe de l'autobus, mais cela s'applique bien sûr
à n'importe quel phénomène de file d'attente, ou de succession de tâches, pourvu que les durées suivent une loi exponentielle.
Le modèle
On étudie une succession de tâches dont les durées suivent une loi de probabilité connue.
Au bout d'une durée fixée, on s'intéresse à trois questions
- Combien de tâches ont-elles été éxécutées ?
- Depuis combien de temps la dernière tâche est-elle en cours ?
- Dans combien de temps se termine-t-elle ?
Dans le cas de la pêche, si vous arrivez une heure après l'ouverture : combien le pêcheur a-t-il pris de poissons ? et combien devez-vous attendre pour en voir pêcher un ? Dans le cas du bus, seule la dernière
question intéresse l'usager qui vient d'arriver : combien de temps à attendre avant le prochain ?
Le paradoxe
Supposons que la durée des tâches suit une loi exponentielle de moyenne 5 minutes (il passe en moyenne un bus toute les cinq minutes). Au bout d'un temps assez grand, si une personne se présente elle attendra la fin de la tâche en cours (le prochain autobus) pendant environ 5 minutes . D'autre part il se sera écou
lé environ 5 minutes depuis le début de la tâche en cours (le passage du dernier bus)
Le temps moyen séparant l'autobus manqué du suivant est donc voisin de 10 minutes (contre toute logique !), alors qu'il en passe toute les cinq minutes.
Ce phénomème ne se produit pas si les durées suivent une loi uniforme où une loi normale (de Laplace Gauss).
La simulation
L'application simule une succession de tâches, alternativement rouges et vertes, dont les durées suivent une loi que l'on peut choisir à l'aide de la liste marquée
Loi
On regarde ce qui se passe au bout de 200 unités de temps et on affiche, le nombre de tâches
effectuées, le temps écoulé depuis le début de la dernière tâche
vt et le temps d'attente
wt.
On rpète ceci 100 fois, avec affichage des statistiques toutes les 8 fois. Le bouton
Tracé permet d'afficher les statistiques telle que définies par la liste
Histos
- nombre : histogramme du nombre de tâches,
- théorique : distribution théorique du nombre de tâches (Loi de Poisson)
- tirage
: distribution des durées telles que définies par la Loi.
- effacer : comme son nom l'indique
Cliquez ici pour lancer la simulation dans une nouvelle fenêtre.