Le paradoxe de l'autobus

Le processus de Poisson¹

Le Processus de Poisson est le modèle le plus naturel, dans beaucoup de circonstances, pour décrire le nombre d'évènements qui se sont produits pendant un intervalle de temps donné.

Le processus de Poisson est très bien adapté à la modélisation du nombre de particules émises par un corps radioactif ou au nombre de clients se présentant à un guichet. Il décrit aussi très bien le nombre de succès dans un très grand nombre de tentatives, quand la probabilité de succès d'une tentative est très faible.
Dans un processus de Poisson, le nombre de tâches effectuées dans un intervalle de temps donné, par exemple le nombre de clients traités à par un guichet de renseignements, suit une loi de probabilité qui a été définie et étudiée par Poisson, appelée Loi de Poisson

Cliquez sur le lien pour les définitions mathématiques.

Un exemple de processus de Poisson : la pêche

Soit N(t) le nombre de poissons qu'un pêcheur prend dans un intervalle de temps [0;t]. Supposons les conditions idéales suivantes : Le processus (N(t),t > 0) peut être considéré comme un processus de Poisson :
[1] Siméon Denis POISSON (1781-1840) : Mathématicien, géomètre et physicien né à Pithiviers. Cliquez sur le lien pour consulter la page correspondante de l'encyclopédie Wikipedia où l'affiche résumé.

Le paradoxe de l'Autobus

Traditionnellement on parle de paradoxe de l'autobus, mais cela s'applique bien sûr à n'importe quel phénomène de file d'attente, ou de succession de tâches, pourvu que les durées suivent une loi exponentielle.

Le modèle

On étudie une succession de tâches dont les durées suivent une loi de probabilité connue. Au bout d'une durée fixée, on s'intéresse à trois questions

Dans le cas de la pêche, si vous arrivez une heure après l'ouverture : combien le pêcheur a-t-il pris de poissons ? et combien devez-vous attendre pour en voir pêcher un ? Dans le cas du bus, seule la dernière question intéresse l'usager qui vient d'arriver : combien de temps à attendre avant le prochain ?

Le paradoxe

Supposons que la durée des tâches suit une loi exponentielle de moyenne 5 minutes (il passe en moyenne un bus toute les cinq minutes). Au bout d'un temps assez grand, si une personne se présente elle attendra la fin de la tâche en cours (le prochain autobus) pendant environ 5 minutes . D'autre part il se sera écou lé environ 5 minutes depuis le début de la tâche en cours (le passage du dernier bus) Le temps moyen séparant l'autobus manqué du suivant est donc voisin de 10 minutes (contre toute logique !), alors qu'il en passe toute les cinq minutes.
Ce phénomème ne se produit pas si les durées suivent une loi uniforme où une loi normale (de Laplace Gauss).

La simulation

L'application simule une succession de tâches, alternativement rouges et vertes, dont les durées suivent une loi que l'on peut choisir à l'aide de la liste marquée Loi On regarde ce qui se passe au bout de 200 unités de temps et on affiche, le nombre de tâches effectuées, le temps écoulé depuis le début de la dernière tâche vt et le temps d'attente wt.
On rpète ceci 100 fois, avec affichage des statistiques toutes les 8 fois. Le bouton Tracé permet d'afficher les statistiques telle que définies par la liste Histos
Cliquez ici pour lancer la simulation dans une nouvelle fenêtre.



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