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Domaine de recherche:

Théorie ergodique et Probabilités.

Sujet des travaux:

Cocycles de degré supérieur d'une action ergodique de Zd ou Rd, application au milieu aléatoire.

Présentation analytique:

Autour de l’étude des cocycles d’une action ergodique de Zd ou Rd, j’ai rassemblé des résultats que l’on peut classer en quatre parties :

1. Théorèmes ergodiques ponctuels pour cocycles de degré supérieur d’actions de Zd et Rd. J’ai montré que la condition d’intégrabilité nécessaire pour avoir la convergence ponctuelle dépend à la fois de la dimension d de l’action, et du degré k du cocycle. Cela complète le théorème de Birkoff classique, qui s’apparente au degré k = d, et celui plus récent de Boivin et Derriennic sur le degré k = 1.
2. Applications au milieu aléatoire.
1. J’ai montré d’une part que le flux du courant dans un milieu continu (ou dans un réseau) conducteur stationnaire elliptique, qui constitue, en dimension d=3, un exemple naturel de cocycle de degré k=2, vérifie la condition d’intégrabilité du théorème ergodique ponctuel associé. Ce résultat permet de montrer que la résistivité milieu infini est observable dans presque toutes les réalisations du milieu. Notons que ce résultat se généralise à  la dimension d quelconque, le flux du courant étant alors cocycle de degré k=d-1.
2. D’autre part, par des méthodes d’homogeneisation du spectre du Laplacien discret, j’ai montré avec Boivin la convergence de la résistivité de grandes boîtes isolées du réseau, quand la taille de la boîte tend vers l’infini.
   
3. Une autre application de notre étude spectrale est que le théorème central limite pour la marche aléatoire réversible en milieu aléatoire est vérifié pour presque tout environnement, toujours dans le cas elliptique stationnaire, c'est-à-dire notamment sans l'hypothèse d'indépendance des résistances.
3. Processus gaussien à paramètre multidimensionnel. J’ai construit un cocycle de degré k d’une action de Rd, dont les restrictions aux sous espaces affines de dimension k suivent la loi du drap brownien classique de Rk. Ce processus généralise à la fois le drap brownien à d paramètres usuel, et le mouvement brownien à d paramètres de Lévy (ces deux processus correspondant respectivement aux cocycles de degrés k = d et k = 1). J’ai aussi donné une représentation de ce cocycle comme intégrale d’un bruit blanc, comme l’avait fait Chensov pour le mouvement brownien à d paramètres de Lévy.
4. Cohomologie Lp de degré k d’une action de Zd sur un espace probabilisé. Sur ce thème théorique de la structure des cocycles de degré  supérieur à 1, j’ai étudié le lien entre le point de vue géométrique (formes différentielles) et le point de vue algébrique (cohomologie des groupes). Comme application de cette étude, j’ai montré que la cohomologie L^2_0 d’une action ergodique de Zd n’est triviale qu’à partir du degré k = d + 1. Ce résultat complète un résultat montré d’une part par Feldmann et Moore, et d’autre part par Lind, disant que la cohomologie mesurable est triviale à partir du degré k = 2, quelque soit la dimension d de l’action.

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Travaux non publiés