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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{multicols}{2}
\vbox{\begin{center}
\noindent{\Large Universit\'e Fran\c{c}ois Rabelais} \\
 \large D\'epartement de Physique
\end{center}
}

\hspace{1.5cm}
\vbox{\begin{center}
\Large Ann\'ee $2011/2012$ \\
L$2$ SM
\end{center}
}

\end{multicols}

\begin{center}
{\Large M\'ecanique \\ TD $4$}
\end{center}


~

\begin{enumerate}

\item
Un objet ponctuel de masse $m$ glisse sans frottement sous l'action de la pesanteur sur la surface ext\'{e}rieure d'une boule sph\'{e}rique. A l'instant initial, l'objet se trouve au sommet de la surface. S'il commence \`{a} glisser avec une vitesse initiale nulle, d\'{e}terminer le point o\`{u} l'objet quitte la surface de la boule.

\item
Un point mat\'{e}riel $M$ de masse $m$ glisse sans rouler et sans frottement le long d'un plan inclin\'{e} faisant un angle $\theta$ avec l'horizontale. Sa vitesse initiale \'{e}tant nulle, il glisse sur une distance $d$ jusqu'\`{a} ce qu'il percute un ressort de constante $k$ plac\'{e} au bas du plan. Trouver la d\'{e}formation maximale du ressort. 

\item
Une particule ponctuelle de masse $m$ subit un champ de force conservatif $\vec F$. L'\'{e}nergie potentielle associ\'{e}e \`{a} cette force est:
$$U(x)=3x^{2}-x^{3}$$
 \begin{enumerate}
 \item Tracer le graphe de la fonction $U(x)$.
 \item \`{A} partir de la courbe de $U(x)$, d\'{e}terminer le sens de la force $\vec F$ suivant les valeurs de $x$.
 \item Analyser les mouvements de la particule pour les diff\'{e}rentes valeurs possibles de l'\'{e}nergie.
 \item Trouver les points d'\'{e}quilibre et d\'{e}terminer leur stabilit\'{e}.
 \end{enumerate}

\item
Soit le champ de force suivant:
$$ \vec F=(y^{2}z^{3}-6xz^{2})\vec i+2xyz^{3}\vec j+(3xy^{2}z^{2}-6x^{2}z)\vec k$$
 \begin{enumerate}
 \item Montrer que $\vec F$ d\'{e}rive d'un potentiel.
 \item D\'{e}terminer ce potentiel.
 \item Calculer le travail fourni par $\vec F$ en d\'{e}pla\c{c}ant un point mat\'{e}riel du point $A(-2,1,3)$ au point $B(1,-2,-1)$.
 \end{enumerate}

\item
On consid\`{e}re un point mat\'{e}riel $M$ de masse $m$ dans le champ de force suivant:
$$ \vec F=(x+y)\vec i-xz^{2}\vec j+3z\vec k$$
 \begin{enumerate}
 \item $\vec F$ d\'{e}rive-t-il d'un potentiel?
 \item Sachant que la trajectoire de $M$ est donn\'{e}e par les \'{e}quations param\'{e}triques suivantes:
 $$\left\{
 \begin{array}{l}
 x(t)=2t \\
 y(t)=t^{2}+1 \\
 z(t)=t^{3}
 \end{array}
 \right.
 $$
 calculer le travail d\'{e}velopp\'{e} par $\vec F$ lorsque $M$ passe du point $A(0,1,0)$ au point $B(2,2,1)$.
 \end{enumerate}
 
\end{enumerate}

\end{document}
