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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{multicols}{2}
\vbox{\begin{center}
\noindent{\Large Universit\'e Fran\c{c}ois Rabelais} \\
 \large D\'epartement de Physique
\end{center}
}

\hspace{1.5cm}
\vbox{\begin{center}
\Large Ann\'ee $2011/2012$ \\
L$2$ SM
\end{center}
}

\end{multicols}

\begin{center}
{\Large M\'ecanique \\ TD $3$}
\end{center}


~

\begin{enumerate}

\item
Un point mat\'{e}riel de masse $m$ se d\'{e}place le long de l'axe $x$. Au temps $t=0$ il est en $x=0$ avec la vitesse $v_{0}$. Le point mat\'{e}riel subit une force qui s'oppose au mouvement et dont le module est proportionnel au carr\'{e} de la vitesse. Calculer: \textit{(a)} la vitesse, \textit{(b)} la position et \textit{(c)} l'acc\'{e}l\'{e}ration du point mat\'{e}riel \`{a} un instant $t$ quelconque.

\item
Un point mat\'{e}riel de masse $m$ glisse sans rouler et sans frottement le long d'un plan inclin\'{e} faisant un angle $\theta$ avec l'horizontale. Sachant qu'en $t=0$ il est immobile au sommet du plan inclin\'{e}, calculer: \textit{(a)} l'acc\'{e}l\'{e}ration, \textit{(b)} la vitesse et \textit{(c)}  la distance parcourue apr\`{e}s un temps $t$.

\item
Deux blocs sont en contact sur une surface horizontale sans frottement. Une force horizontale $F$ est appliqu\'{e}e sur le blocs de masse $M_{1}$ de sorte que celui-ci pousse le bloc de masse $M_{2}$. Quelle est la force qu'exerce $M_{1}$ sur $M_{2}$?

\item 
Une masse \'{e}gale \`{a} 60$kg$ est suspendue par un c\^{a}ble \`{a} un h\'{e}licopt\`{e}re. Trouver la tension dans le c\^{a}ble si l'acc\'{e}l\'{e}ration vaut $5\;m\:s^{-2}$ et si elle est dirig\'{e}e \textit{(a)} vers le haut, \textit{(b)} vers le bas. 

\item
Quelle est la plus grande pente que peut avoir un plan inclin\'{e} pour qu'une masse $m$ pos\'{e}e dessus ne glisse pas, sachant que le coefficient de frottement statique est $\mu$.

\item
Une rame de m\'{e}tro comprend trois wagons. Chacun p\`{e}se $1,2\;10^{5}\;N$. La force de frottement qui s'exerce sur chaque wagon est de $10^{3}\;N$. Le premier wagon, agissant comme motrice, exerce sur les rails une force horizontale de $4,8\;10^{4}\;N$. Consid\'{e}rant que les barres d'attache entre les wagons sont inextensibles et de masse n\'{e}gligeable, d\'{e}terminer la force de traction dans chacune d'elles. 

\item
Deux masses $M_{1}$ et $M_{2}$ sont respectivement attach\'{e}es  aux extr\'{e}mit\'{e}s d'une corde de masse n\'{e}gligeable passant sans frottement dans la gorge d'une poulie de masse n\'{e}gligeable qui est suspendue. D\'{e}terminer \textit{(a)} l'acc\'{e}l\'{e}ration de $M_{1}$ et $M_{2}$ et \textit{(b)} la tension de la corde.   

\item
Une masse $M$ est suspendue \`{a} un fil (inextensible, de masse n\'{e}gligeable et de longueur $l$) et tourne autour d'un axe vertical avec une vitesse angulaire $\omega$. Trouver l'angle $\alpha$ que fait le fil avec la verticale.

\item
 Un wagon de masse $M$ se d\'{e}place sans frottement sur une voie rectiligne horizontale li\'{e}e \`{a} un r\'{e}f\'{e}rentiel galil\'{e}en (la verticale est d\'{e}finie par le champ de pesanteur uniforme et constant $\vct g$).
 
 \begin{enumerate}
 
 \item Dans un premier temps, on suppose que le wagon a une vitesse initiale $\vct v_{0}$ et qu'il n'est soumis \`{a} aucune force ext\'{e}rieure autre que son poids et la r\'{e}action des rails. Soit $O$ un observateur li\'{e} \`{a} la voie et $O'$ un observateur fixe par rapport au wagon. $O$ et $O'$ mesurent les abscisses le long de la voie \`{a} l'aide des rep\`{e}res $(O,\vct i)$ et $(O',\vct i)$ respectivement.
 
  \begin{itemize}
  \item Si le r\'{e}f\'{e}rentiel li\'{e} \`{a} $O$ est galil\'{e}en, en est-il de m\^{e}me pour celui li\'{e} \`{a} $O'$ ?
  \item On suppose qu'\`{a} l'instant initial $t=0$, les abscisses de $O$ et $O'$ co\"{\i}ncident. Quelle relation existe-t-il entre les abscisses $x$ et $x'$ d'un m\^{e}me point mesur\'{e}es par $O$ et $O'$ respectivement?
  \item $O'$ l\^{a}che sans lancer une petite bille de masse $m$ \`{a} une hauteur $h$ mesur\'{e}e \`{a} partir du plancher du wagon. D\'{e}crire, en n\'{e}gligeant les frottements de l'air, le mouvement de la bille vu par $O$. Le comparer au mouvement vu par $O'$.
  \end{itemize}
 
 \item Le wagon est maintenant soumis \`{a} la traction d'une locomotive qui excerce sur lui une force $\vct F$ horizontale et constante.
  
  \begin{itemize}
  \item D\'{e}crire le mouvement du wagon par rapport \`{a} $O$. Si le r\'{e}f\'{e}rentiel li\'{e} \`{a} $O$ est galil\'{e}en, en est-il de m\^{e}me pour celui li\'{e} \`{a} $O'$?
  \item La bille $m$ est maintenant suspendue au plafond du wagon par une tige rigide de masse n\'{e}gligeable. D\'{e}terminer la position d'\'{e}quilibre stable de la bille dans le r\'{e}f\'{e}rentiel du wagon. Si la masse est effectivement dans cette position d'\'{e}quilibre, \'{e}crire l'\'{e}quation de son mouvement vu de $O$.
  \end{itemize}
  
\end{enumerate}

\item
Il est habituel de dire que les astronautes et les objets situ\'es \`{a} l'int\'{e}rieur d'un satellite sont en \'{e}tat d'impesanteur. Que signifie cette expression?

\item
Trouver l'\'{e}quations du mouvement d'un point mat\'{e}riel pour un observateur situ\'{e} \`{a} la surface de la terre.

\item
Un objet \`{a} la surface d'une plan\`{e}te parfaitement sph\'{e}rique, de m\^{e}me taille et de m\^{e}me masse que la Terre, a un poids nul \`{a} l'\'{e}quateur. Quelle est la dur\'{e}e d'un jour sur cette plan\`{e}te?

On donne: $M_{T}=5,975\;10^{24}\;kg$ et $R_{T}=6,371\;10^{6}\:m$.



\end{enumerate}
\end{document}
