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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{multicols}{2}
\vbox{\begin{center}
\noindent{\Large Universit\'e Fran\c{c}ois Rabelais} \\
 \large D\'epartement de Physique
\end{center}
}

\hspace{1.5cm}
\vbox{\begin{center}
\Large Ann\'ee $2011/2012$ \\
L$2$ SM
\end{center}
}

\end{multicols}

\begin{center}
{\Large M\'ecanique \\ TD $2$}
\end{center}


~

\begin{enumerate}

\item
A la surface de la Terre on jette verticalement vers le haut, avec une vitesse
$v_0$, un objet de masse $m$. 

D\'eterminer le temps mis pour atteindre le point le plus \'elev\'e et la 
hauteur maximale atteinte.

\item
Un automobiliste, sur une route horizontale rectiligne, aper\c{c}oit un obstacle devant lui alors que la voiture roule \`a la vitesse de $126$km.h$^{-1}$. Il freine et parcourt encore $125$m avant de s'arr\^eter juste au niveau de l'obstacle.

D\'eterminer l'acc\'el\'eration de la voiture en admettant que son mouvement
est uniform\'ement ralenti.

\item
Une rivi\`ere de largeur $L$ constante s'\'ecoule \`a une vitesse uniforme
et constante. Un nageur la traverse avec une vitesse constante par
rapport \`a l'eau et perpendiculaire \`a la rivi\`ere.

D\'eterminer la distance parcourue par le nageur lorsqu'il parvient \`a
l'autre rive.

\item
Un marcheur se d\'eplace \`a une vitesse constante horizontale par rapport
au sol. Une pluie tombe verticalement \`a vitesse constante.

Montrer que le marcheur a int\'er\^et \`a incliner son parapluie d'un angle
que l'on d\'eterminera s'il veut \^etre mouill\'e le moins possible.

\item
Un syst\`eme d'axes $xyz$ tourne par rapport \`a un syst\`eme d'axes $XYZ$ de
m\^eme origine suppos\'e fixe dans l'espace. La vitesse angulaire du rep\`ere
$xyz$ par rapport au rep\`ere $XYZ$ est donn\'ee par:
\be
\vct \omega = 2t\vct i - t^2 \vct j + (2t+4)\vct k
\ee
o\`u $\vct i$, $\vct j$ et $\vct k$ sont les vecteurs de base du rep\`ere 
$xyz$, et $t$ est le temps. Dans le rep\`ere $xyz$, le vecteur position d'une
particule au temps $t$ est donn\'e par:
\be
\vct R = (t^2+1)\vct i - 6t \vct j + 4t^3 \vct k
\ee
\begin{itemize}
\item{D\'eterminer la vitesse relative et la vitesse absolue de la particule.}
\item{D\'eterminer l'acc\'el\'eration relative et l'acc\'el\'eration absolue
de la particule.}
\end{itemize}

\item

Une roue verticale de centre $C$ et de rayon $R$ roule sans glisser sur un 
plan horizontal. Son axe de rotation horizontal est fix\'e au point O \`a un axe vertical fixe $Oz$, de telle sorte que $C$ d\'ecrit un cercle de centre $O$ et de rayon $\rho_0$ avec une vitesse
angulaire $\Omega$. On consid\`ere \`a un instant donn\'e le point $M$ le
plus haut et le point $N$ le plus bas de la roue.

D\'eterminer les vecteurs vitesse et acc\'el\'eration des points $M$, $C$
et $N$ par rapport au sol.
\begin{center}
\includegraphics[width=4cm,height=4cm]{roue.eps}
\end{center}



\end{enumerate}
\end{document}
