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\begin{document}
\pagestyle{empty}
\begin{multicols}{2}
\vbox{\begin{center}
\noindent{\Large Universit\'e Fran\c{c}ois Rabelais} \\
 \large D\'epartement de Physique
\end{center}
}

\hspace{1.5cm}
\vbox{\begin{center}
\Large Ann\'ee $2011/2012$ \\
L$2$ SM
\end{center}
}
\end{multicols}

\begin{center}
{\Large M\'ecanique \\ TD $1$ - Outils math\'ematiques}
\end{center}


\begin{enumerate}

\item
Soit ${\mathcal B} = \{ \vct i,\vct j,\vct k \}$ une base orthonorm\'ee directe.
\begin{itemize}
 \item{Rappeler bri\`evement ce que signifie base orthonorm\'ee directe.}
 \item{On consid\`ere deux vecteurs:
 \begin{eqnarray}
 \vct a & = &  \vct i + 2\vct j - 3\vct k \cr
 \vct b & = & - \vct i + 2 \vct j + 3\vct k
 \end{eqnarray}
 \begin{itemize}
  \item{Calculer:
  - leur longueur $|\vct a|$ et $|\vct b|$
  - leur somme $\vct a+\vct b$ et la diff\'erence $\vct a-\vct b$.
}
 \item{Rappeler:
  - la d\'efinition du produit scalaire $\vct a\cdot\vct b$; quelle relation y a-t-il entre $\vct a\cdot\vct b$ et $\vct b\cdot\vct a$? Calculer l'angle $\widehat{\left(\vct a,\vct b\right)}$
  - la d\'efinition du produit vectoriel $\vct a\wedge\vct b$; quelle relation y a-t-il entre $\vct a\wedge\vct b$ et $\vct b\wedge\vct a$? Calculer $\vct i\wedge\vct j$, $\vct i\wedge\vct k$, $\vct j\wedge\vct k$, $\vct a\wedge\vct b$.}
 \item{Calculer: $ \vct a - 2\vct b + \vct a\wedge\vct b$.}
 \item{Cela a-t-il un sens d'\'ecrire $\vct a - 2\vct b + \vct a\cdot\vct b$? Si oui, faire le calcul.}
  \end{itemize}}
\end{itemize}
\item
Deux vecteurs de longueurs $a$ et $b$ font un angle $\theta$ entre eux. Montrer que la longueur $c$ de leur somme est:
\be
c = \sqrt{ a^2 + b^2 + 2ab\cos{\theta} }
\ee
\item
D\'emontrer les relations suivantes:
\begin{eqnarray*}
(\vec{A}\wedge\vec{B})\cdot\vec{C}&=&
\vec{A}\cdot(\vec{B}\wedge\vec{C}) \\
(\vec{A}\wedge\vec{B})\wedge\vec{C}&=&
\vec{B}\,(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{A}\,(\vec{B}\cdot\vec{C})\\
\vec{A}\wedge(\vec{B}\wedge\vec{C})&=&
\vec{B}\,(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}\,(\vec{A}\cdot\vec{B})
\end{eqnarray*}
en exprimant les vecteurs dans une base orthonorm\'ee.
\vspace{0.5cm}
\item
Soient deux vecteurs $\vct u$ et $\vct v$ tels que:
\be
|\vct u+\vct v|=|\vct u-\vct v|
\ee 
Montrer que $\vct u$ et $\vct v$ sont orthogonaux.
\item 
\begin{itemize}
 \item {D\'emontrer que si un vecteur $\vec{A}(t)$ a un module constant, son vecteur d\'eriv\'e par rapport au temps $\displaystyle \frac{d\vec{A}}{dt}$ lui est orthogonal.}
 \item{  D\'emontrer que si un vecteur $\vec{A}(t)$ satisfait la relation $\displaystyle \vec{A}\cdot \frac{d\vec{A}}{dt}=0$, il a un module constant.}
\end{itemize}
\item 
\begin{itemize}
 \item{
  D\'emontrer que si un vecteur $\vec{A}(t)$ satisfait la relation $\displaystyle\vec{A}\wedge \frac{d^2\vec{A}}{dt^2}=\vec{0} $, alors le vecteur $\displaystyle\vec{A}\wedge \frac{d\vec{A}}{dt}$ est constant.}
 \item{D\'emontrer que si le vecteur $\displaystyle\vec{A}\wedge \frac{d\vec{A}}{dt}$ est constant, alors le vecteur $\displaystyle\vec{A}\wedge \frac{d^2\vec{A}}{dt^2}$ est nul.}
\end{itemize}
\item 
On consid\`ere le vecteur
\be
\vct R(t)=\cos{\left(\omega t\right)} \vct i + \sin{\left(\omega t\right)}\vct j, \label{Rt}\ee
o\`u $\omega$ est un param\`etre constant, et le vecteur
\be
\vct \omega = \omega \vct k.
\label{omegaRt}
\ee
\begin{itemize}
  \item{Calculer la d\'eriv\'ee premi\`ere de $\vct R(t)$ par rapport au temps $t$.}
  \item{Calculer le vecteur $\vct \omega \wedge \vct R(t)$, et comparer au r\'esultat pr\'ec\'edent.}
  \item{Calculer la d\'eriv\'ee seconde de $\vct R(t)$ par rapport au temps en utilisant successivement sa d\'efinition initiale (\ref{Rt}), puis le r\'esultat de la question pr\'ec\'edente. Comparer.}
\end{itemize}

\item
On choisit un rep\`ere cart\'esien $\left(O;\{\vct i,\vct j\}\right)$ dans le plan.
\begin{itemize}
 \item{Rappeler la d\'efinition des coordonn\'ees polaires ainsi que celles des vecteurs unitaires $\{\vct u_r,\vct u_\theta\}$ associ\'es.}
 \item{Exprimer $\{\vct u_r,\vct u_{\theta}\}$ en fonction de $\{ \vct i,\vct j \}$ et r\'eciproquement.}
 \item{Calculer $\vct i \cdot \vct u_r$ puis $\vct i \wedge \vct u_r$ et $\vct k \wedge \vct u_r$.}
 \item{Calculer les vecteurs $\displaystyle \frac{d\vct u_r}{d\theta}$, $\displaystyle \frac{d\vct u_\theta}{d\theta}$.}
 \item{La trajectoire d'un point $M$ dans le plan est donn\'ee par: \mbox{$\vctl {OM}=x(t)\vct i+y(t)\vct j=r(t)\vct u_r$}. Calculer dans le r\'ef\'erentiel li\'e au rep\`ere $\left(O;\{\vct i,\vct j\}\right)$ la d\'eriv\'ee par rapport au temps de $\vct i$, $\vct j$, $\vct u_r$, $\vct u_{\theta}$, $\vctl {OM}$.}
\end{itemize}
\end{enumerate}
\end{document}
