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Yves BELAUD

Laboratoire de Mathmatiques et Physique Thorique
CNRS UMR 6083 (Tours)


Fdration Denis Poisson

Facult des Sciences et Techniques
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Master MEEF

Co-responsable du parcours mathmatiques au sein du Master MEEF.

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Thme de recherche :

Extinction en temps fini de solutions d'quations aux drives partielles non linaires, frontires libres, blow-up.

Key words :

Nonlinear equation, energy method, vanishing solutions, semi-classical analysis, p-Laplacian, porous media, maximum and monotonous operators, free boundaries.

Soit A un oprateur (non linaire, ventuellement multivalu) sur un espace de Hilbert ou plus gnralement un espace de Banach et u la solution de l'quation diffrentielle ut+Au = 0 avec la condition initiale non nulle u(0)=u0. La question est :

Sous quelles hypothses sur A existe t-il un temps T>0 tel que u(T)=0 ?

Historiquement, ce problme a t abord par V.A. Kondratiev and L. Vron (Asymptotic behaviour of solutions of some nonlinear parabolic or elliptic equations, Asymptotic Analysis 14 (1997), 117-156) dans le cas o l'oprateur est l'oppos d'un Laplacien avec un terme d'absorption, i.e., de la forme Au=-Δu+a(x)uq avec 0<q<1 sur un domaine born. Ils introduisent une nouvelle mthode d'nergie base sur la premire valeur propre d'une famille d'oprateurs de Schrdinger dans la limite semi-classique. La technique a t amliore toujours pour le mme oprateur [1]. Elle peut tre tendue au cas o l'oprateur est Au=-Δpu+a(x)uq avec 0<q<1 ou Au=-Δ(um)+a(x)uq toujours sur un domaine born [2],[3]. La condition d'annulation en temps fini dpend du comportement asymptotique de la premire valeur propre de l'oprateur associ dont certains aspects sont tudis dans [4].

Avec A. Shishkov (Institute of Applied Mathematics and Mechanics of NAS of Ukraine, Donetsk), nous avons cherch une condition suffisante d'annulation en temps fini sous la forme de Dini. Deux preuves diffrentes aboutissant la mme condition ont t dmontres, l'une utilisant une fonctionnelle d'nergie, l'autre tant un raffinement de [1]. L'article a t publi [5].

Toujours avec A. Shishkov, nous avons tendu les rsultats des oprateurs d'ordre plus lv comme le Bilaplacien. Pour cela, nous avons introduit une nouvelle mthode dite "semi-classique" qui est d'une certaine manire la gnralisation des quotients de Rayleigh. Cette nouvelle mthode vite les estimations dans L^infini car elle est purement L^2 [6].

Le travail avec J.I. Diaz a consist d'une part essayer de gnraliser des oprateurs maximaux monotones dans des espaces de Hilbert et d'autre part part, donner une estimation explicite par excs dans le cas du Laplacien pour le temps d'extinction [7].

Actuellement, je travaille sur les extinctions en temps fini pour certaines quations paraboliques non linaires incluant le p-Laplacien et l'oprateur des milieux poreux. Cet article est en cours de rdaction a avec Andrey Shishkov.

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