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Thème de recherche :

Extinction en temps fini de solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires et frontières libres.

Key words :

Nonlinear equation, energy method, vanishing solutions, semi-classical analysis, p-Laplacian, porous media, maximum and monotonous operators, free boundaries.

Soit A un opérateur (non linéaire, éventuellement multivalué) sur un espace de Hilbert ou plus généralement un espace de Banach et u la solution de l'équation différentielle u_t+Au = 0 avec la condition initiale non nulle u(0)=u₀. La question est :

Sous quelles hypothèses sur A existe t-il un temps T>0 tel que u(T)=0 ?

Historiquement, ce problème a été abordé par V.A. Kondratiev and L. Véron (Asymptotic behaviour of solutions of some nonlinear parabolic or elliptic equations, Asymptotic Analysis 14 (1997), 117-156) dans le cas où l'opérateur est l'opposé d'un Laplacien avec un terme d'absorption, i.e., de la forme Au=-Δu+a(x)u^q avec 0<q<1 sur un domaine borné. Ils introduisent une nouvelle méthode d'énergie basée sur la première valeur propre d'une famille d'opérateurs de Schrödinger dans la limite semi-classique. La technique a été améliorée toujours pour le même opérateur [1]. Elle peut être étendue au cas où l'opérateur est Au=-Δ_pu+a(x)u^q avec 0<q<1 ou Au=-Δ(u^m)+a(x)u^q toujours sur un domaine borné [2],[3]. La condition d'annulation en temps fini dépend du comportement asymptotique de la première valeur propre de l'opérateur associé dont certains aspects sont étudiés dans [4].

Avec A. Shishkov (Institute of Applied Mathematics and Mechanics of NAS of Ukraine, Donetsk), nous avons cherché une condition suffisante d'annulation en temps fini sous la forme de Dini. Deux preuves différentes aboutissant à la même condition ont été démontrées, l'une utilisant une fonctionnelle d'énergie, l'autre étant un raffinement de [1]. L'article a été publié [5].

Actuellement, toujours avec A. Shishkov, nous travaillons sur des opérateurs d'ordre plus élévé comme le Bilaplacien.

Liste des articles

• [6] Y. Belaud, A. Shishkov, en cours de rédaction.
• [5] Y. Belaud, A. Shishkov, Long-time extinction of solutions of some semilinear parabolic equations, J. Diff. Equations 238, (2007), 64-86. (pdf in english)
• [4] Y. Belaud, Asymptotic estimate for a variational problem involving a quasilinear operator in the semi-classical limit, Annals of Global Analysis and Geometry 26: 271-313, 2004. (pdf in english)
• [3] Y. Belaud, Semi-classical analysis and vanishing properties of solutions to quasilinear equations, 2001-Luminy Conference on Quasilinear elliptic and parabolic equations and systems, Electron. J. Diff. Eqns., Conf. 08, 2002, pp. 9-22.(pdf in english)
• [2] Y. Belaud, Time-vanishing properties of solutions of some degenerate parabolic equations with strong absorption, Advanced Nonlinear Studies 1, 2 (2001), 117-152. (pdf in english)
• [1] Y. Belaud, B. Helffer, L. Véron, Long-time vanishing properties of solutions of sublinear parabolic equations and semi-classical limit of Schrödinger operator, Ann. Inst. Henri Poincaré Anal. Nonlinear 18, 1 (2001), 43-68. (pdf in english)