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Yves BELAUD

Laboratoire de Mathématiques et Physique Théorique
CNRS UMR 6083 (Tours)


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Master MEEF

Co-responsable du parcours mathématiques au sein du Master MEEF.

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Thème de recherche :

Extinction en temps fini de solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires, frontières libres, blow-up.

Key words :

Nonlinear equation, energy method, vanishing solutions, semi-classical analysis, p-Laplacian, porous media, maximum and monotonous operators, free boundaries.

Soit A un opérateur (non linéaire, éventuellement multivalué) sur un espace de Hilbert ou plus généralement un espace de Banach et u la solution de l'équation différentielle ut+Au = 0 avec la condition initiale non nulle u(0)=u0. La question est :

Sous quelles hypothèses sur A existe t-il un temps T>0 tel que u(T)=0 ?

Historiquement, ce problème a été abordé par V.A. Kondratiev and L. Véron (Asymptotic behaviour of solutions of some nonlinear parabolic or elliptic equations, Asymptotic Analysis 14 (1997), 117-156) dans le cas où l'opérateur est l'opposé d'un Laplacien avec un terme d'absorption, i.e., de la forme Au=-Δu+a(x)uq avec 0<q<1 sur un domaine borné. Ils introduisent une nouvelle méthode d'énergie basée sur la première valeur propre d'une famille d'opérateurs de Schrödinger dans la limite semi-classique. La technique a été améliorée toujours pour le même opérateur [1]. Elle peut être étendue au cas où l'opérateur est Au=-Δpu+a(x)uq avec 0<q<1 ou Au=-Δ(um)+a(x)uq toujours sur un domaine borné [2],[3]. La condition d'annulation en temps fini dépend du comportement asymptotique de la première valeur propre de l'opérateur associé dont certains aspects sont étudiés dans [4].

Avec A. Shishkov (Institute of Applied Mathematics and Mechanics of NAS of Ukraine, Donetsk), nous avons cherché une condition suffisante d'annulation en temps fini sous la forme de Dini. Deux preuves différentes aboutissant à la même condition ont été démontrées, l'une utilisant une fonctionnelle d'énergie, l'autre étant un raffinement de [1]. L'article a été publié [5].

Toujours avec A. Shishkov, nous avons étendu les résultats à des opérateurs d'ordre plus élévé comme le Bilaplacien. Pour cela, nous avons introduit une nouvelle méthode dite "semi-classique" qui est d'une certaine manière la généralisation des quotients de Rayleigh. Cette nouvelle méthode évite les estimations dans L^infini car elle est purement L^2 [6].

Le travail avec J.I. Diaz a consisté d'une part à essayer de généraliser à des opérateurs maximaux monotones dans des espaces de Hilbert et d'autre part part, à donner une estimation explicite par excès dans le cas du Laplacien pour le temps d'extinction [7].

Actuellement, je travaille sur les extinctions en temps fini pour certaines équations paraboliques non linéaires incluant le p-Laplacien et l'opérateur des milieux poreux. Cet article est en cours de rédaction a avec Andrey Shishkov.

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