Theme « integrable systems »

Chercheurs :

Pascal Baseilhac, Oleg Lisovyi, Noureddine Mohammedi, Yuriy Tykhyy.

Présentation :



Les travaux de P. Baseilhac ont porté sur l'étude de structures mathématiques récentes (algèbre q-Onsager et représentations) et la mise en place d'une nouvelle approche exacte en systèmes intégrables avec conditions aux bords dans le continu (théorie de champs) ou sur réseau (chaîne de spin). L'intérêt majeur de ce programme de recherche réside aussi bien dans l'importance des modèles avec bords dans divers domaines (matière condensée, physique des hautes énergies), dans la richesse des structures mathématiques sous-jacentes mais surtout dans le fait que les méthodes usuelles (ansatz de Bethe, séparation de variables) échouaient jusqu'alors pour de tels modèles. La nouvelle méthode développée prend ses racines dans les idées de Onsager concernant le modèle d'Ising en deux dimensions, exploitant l'existence de symétries cachées (q-Onsager) et leur théorie des représentations. P. Baseilhac - en collaboration successive avec deux chercheurs postdocs et un doctorant (S. Belliard, Annecy LAPTH) - a donc élaboré par étapes les bases algébriques de cette nouvelle approche rigoureuse (algèbre q-Onsager, représentations, algèbre de courant) et présenté diverses applications importantes: solution exacte de la chaîne de spin XXZ avec bords génériques, symétrie cachée et classification complète des conditions au bord scalaires et dynamiques dans les théories de Toda affines. Les différents travaux publiés de portée internationale ont un caractère pluridisciplinaire manifeste (mathématiques-physique), et ont bénéficié du support d'un projet de recherche ANR entre LPTM Cergy-Pontoise/ENS Lyon et LMPT Tours dont P. Baseilhac fut le responsable. Les travaux de O. Lisovyi ont porté essentiellement sur les équations de Painlevé. Ces équations, leurs propriétés et leurs solutions restent un domaine de recherche essentiel aussi bien en mathématiques pures ou appliquées qu'en physique où elles possèdent un large domaine d'applications allant de la matière condensée ou la physique mathématique à la relativité générale. Différents problèmes fondamentaux suscitent depuis de nombreuses années un intérêt tout particulier dans la communauté internationale : d'une part, la classification des solutions [classiques] des équations de Painlevé, d'autre part la compréhension du lien entre équations de Painlevé et la propriété d'intégrabilité de certains systèmes physiques ainsi que l'utilisation de leurs propriétés comme approche effective et systématique au calcul de fonctions de corrélations d'observables. Les travaux publiés ont un caractère pluridisciplinaire manifeste (mathématiques-physique), et ont bénéficié du support de différents projets internationales de recherche. Résultats majeurs : O. Lisovyi - en collaboration avec Yu. Tykhyy - a classifié les orbites finies d'une action canonique du groupe de 3-tresses sur l'espace de SL(2,C)-triplets, ce qui a permis de classifier les solutions algébriques de l'équation de Painlevé VI. La recherche de N. Mohammedi porte sur la question de l'intégrabilité des modèles sigma non-linéaires bi-dimensionnels. Les modèles sigma intégrables connus jusqu'à présent ont été déterminés par une méthode de `trial and error`. N. Mohammedi a mis au point une procédure systématique pour la détermination de modèles sigma intégrables. Il a trouvé une équation maîtresse dont les solutions conduisent à des modèles sigma non-linéaires intégrables. Cette équation est très riche du point de vue géométrique et pourrait être traitée par les outils mathématiques de la géométrie différentielle. La condition d'intégrabilité des modèles sigma impose des contraintes sur les espaces cibles correspondant à ces modèles. Cette constatation pourrait être d'une importance cruciale pour le problème de la compactification des théories des cordes car les modèles sigma non-linéaires décrivent le mouvement des cordes dans des espaces ayant des structures géométriques non triviales.



Participation à des projets


Projet ANR MIB 'Systèmes intégrables avec bords: structures algébriques et fonctions de corrélations', en collaboration avec N. Kitanine, G. Rollet (Cergy-Pontoise), V. Terras (ENS Lyon). Responsable: P. Baseilhac.
Projet franco-ukrainien PHC Dnipro: 2009-2010 : 'Méthodes d'analyse algébrique des systèmes intégrables classiques et quantiques', en collaboration avec P. Baseilhac (Tours), V. Roubtsov (Angers), N. Iorgov, V. Shadura, Yu. Tykhyy, (BITP, Kyiv, Ukraine). Responsable: O. Lisovyi.



Confèrences


Workshop international à Tours du 07 au 10 Novembre 2007 : ''Integrable models and related mathematical structures'' http://www.lmpt.univ-tours.fr/conferences/IMRMS/.



Articles (2006-2010)


P. BASEILHAC, S. BELLIARD, Generalized q-Onsager algebras and boundary affine Toda field theories; Ref : arXiv:0906.1215, Letters in Mathematical Physics 93 (2010) 213-228.
P. BASEILHAC, K. SHIGECHI, A new current algebra and the reflection equation; Ref: arXiv:0906.1482, Letters in Mathematical Physics 92 (2010) 47-65.
P. BASEILHAC, New exact results in the XXZ open spin chain; Ref: Contribution to the Proceedings of the Conference "Recent Advances in Quantum Integrable Systems'', Annecy, September 2007; Ref: arXiv:0712.0452.
P. BASEILHAC, K. KOIZUMI, Exact spectrum of the XXZ open spin chain from the q-Onsager algebra representation theory; Ref: hep-th/0703106, Journal of Statistical Mechanics (2007) P09006.
P. BASEILHAC, The q-deformed analogue of the Onsager algebra: beyond the Bethe ansatz approach; Ref: math-ph/0604036, Nuclear Physics B. 754 (2006) 309-328.
P. BASEILHAC, A family of tridiagonal pairs and related symmetric functions; Ref: math-ph/0604035, Journal of Physics A 39 11773 (2006).
O. LISOVYI, Dyson's constant for the hypergeometric kernel; Ref: arXiv: 0910.1914 [math-ph]; accepted to the festschrift volume "Infinite Analysis" for the 60th anniversary of T. Miwa.
O. LISOVYI, Finite-volume correlation functions of monodromy fields on the lattice: Toeplitz representation; Ref: in "Syst\`emes int\'egrables et Th\'eorie des champs quantiques" (eds. P. Baird, F. Helein, J. Kouneiher, F. Pedit, V. Roubtsov), Hermann, (2009), pp. 170-186.
O. LISOVYI, On Painlev\'e VI transcendents related to the Dirac operator on the hyperbolic disk; Ref: arXiv: 0710.5744 [math-ph]; J. Math. Phys. 49, (2008), 093507.
O. LISOVYI, Aharonov-Bohm effect on the Poincar\'e disk; Ref: math-ph/0702066; Journal of Mathematical Physics 48, (2007), 052112.
O. LISOVYI, Transfer matrix eigenvectors of the Baxter-Bazhanov-Stroganov t2-model for N=2; Ref: Journal of Physics A: Math. Gen. 39, (2006), 2265-2285.
O. LISOVYI, Point interactions in one dimension and holonomic quantum fields; Ref: Letters in Mathematical Physics 77, (2006), 63-81.
N. MOHAMMEDI, On the geometry of classically integrable two-dimensional non-linear sigma models, Ref: arXiv:0806.0550, soumis à Nuclear Physics B.