Thème « systèmes dynamiques classiques »

Chercheurs :

Permanents : Hector Giacomini.

Présentation :

Hector Giacomini travaille sur la théorie qualitative des équations diff érentielles ordinaires. Il s'intéresse au problème de la détection des cycles limites et l'étude des bifurcations qui se produisent quand les paramètres du système sont variés. Les cycles limites sont des orbites periodiques isolées qui jouent un rôle très important dans le comportement dynamique du système. Pour ce type de système il a demontré deux conjectures établies par L. Perko en 1992 sur le comportement analytique de la courbe de bifurcation du système de Bogdanov-Takens. Sur le même domaine, en collaboration avec M. Grau, il a developpé une méthode pour construire des courbes transversales au flot du système qui permettent d'obtenir des régions annulaires de Poincaré-Bendixson et prouver de la sorte l'existence des cycles limites. Aucune méthode générale n'était connue pour construire ce type de région.

Dans beaucoup de domaines ou les cycles limites apparaissent, ils sont déterminés de manière numérique puisque les équations sous-jacentes ne sont pas intégrables en général. En collaboration avec A. Gasull et M. Grau, H. Giacomini a développé une méthode pour prouver l'existence de cycles limites qui ont été déterminés de manière numérique. Ce résultat représente un progrès signi catif dans le domaine, établissant pour la première fois un lien entre résultats numériques et résultats rigoureux. H. Giacomini a employé aussi la théorie qualitative des équations diff érentielles ordinaires pour obtenir des résultats sur les solutions du type "traveling-waves" (TW) pour les équations diff érentielles aux dérivées partielles du type réaction-diffusion. Dans un travail en collaboration avec A. Gasull et J. Torregrosa, il a obtenu des bornes inférieures et supérieures pour les solutions du type TW pour les équations du genre Fisher-Kolmogorov. En collaboration avec A. Gasull, il a introduit la notion de solution TW algébrique. Il a demontré que toutes les solutions TW explicites connues sont algébriques. En particulier, H. Giacomini a prouvé que la seule solution TW algébrique de l'équation de Fisher-Kolmogorov est la solution obtenue par Ablowitz et Zeppetella en 1979. H. Giacomini a enfi n appliqué la théorie qualitative des équations diff érentielles ordinaires a des problèmes de cosmologie, en collaboration avec B. Boisseau, D. Polarski et A. Starobinsky.