Thème « surfaces minimales et autres problèmes de minimisation »

Chercheurs :

Marc Soret, Martin Traizet, Marina Ville.

Présentation :

Les principales directions de recherche développées sous ce thème au sein du LMPT sont :

Construction de surfaces minimales: M. Traizet et ses collaborateurs (Matthias Weber, Rami Younes) ont développé une méthode de construction de surfaces minimales qui consiste à "coller" des surfaces minimales élémentaires : plans, caténoïdes, hélicoïdes et surfaces de Scherk. Les outils de base viennent de l'analyse complexe : surfaces de Riemann à points doubles (nodes) et représentation de Weierstrass. Le résultat le plus important obtenu par M. Traizet par cette technique est la réponse affirmative à une conjecture de Meeks : dans tout 3-tore plat, il existe des surfaces minimales plongées de genre arbitraire supérieure ou égal à 3. Meeks l'avait résolue seulement pour le genre 3 par une méthode variationnelle.

Une autre méthode utilisée pour construire des surfaces minimales consiste à résoudre un problème de Dirichlet pour les graphes avec des données infinies au bord (à la Jenkins-Serrin). M. Traizet, M. Rodriguez et L. Mazet on considéré ce problème sur des domaines convexes non bornés pour obtenir des surfaces minimales de topologie infinie et des surfaces minimales quasi-périodiques.

Dans sa thèse, R. Younes a considéré le problème de Jenkins-Serrin pour les graphes minimaux dans la 3-variété homogène revêtement universel de SL(2,R).

 

Classification: En collaboration avec J. Perez (Granada) et M. Rodriguez (Madrid), M. Traizet obtient la classification des surfaces doublement périodiques de genre 1 à bouts parallèles et, avec J. Perez, des surfaces simplement périodiques de genre zéro à bouts de type Scherk.

 

Singularités des surfaces minimales de l'espace euclidien de dimension 4 : En partant d'une étude antérieure de Micaleff et White, M. Soret et Marina Ville ont construit plusieurs nouveaux exemples de noeuds associés à des points de branchement d'un disque minimal dans R^4. Certains de leurs exemples ne sont pas fibrés, ce qui répond par la négative à une question de Lê Dûng Trang, Rosenberg et d'autres.

 

Première valeur propre du laplacien d'une hypersurface minimale compacte de la sphère: Il est conjecturé par Yau que cette valeur propre doit être égale à la dimension de l'hypersurface. M. Soret et J. Choe (Corée) montrent que cette propriété est vérifiée par tous les exemples connus jusqu'à présent.

 

Hypersurfaces à courbure scalaire nulle : Les seules hypersurfaces complètes à courbure scalaire nulle connues dans l'espace euclidien sont des hypersurfaces réglées. J. de Lira et M. Soret construisent des exemples avec singularités isolées obtenues par déformation de cônes.

 

Hypersurfaces minimales stables: B Nelli et M. Soret montrent que de telles hypersurfaces complètes dans l'espace euclidien de dimension au plus 5, dont un voisinage normal de hauteur constante est plongé, sont des hyperplans.