Thème « Théorie des représentations»

Chercheurs :

Permanents:  Jérémie Guilhot et Cédric Lecouvey

Associé:  Vincent Beck (Mapmo)

Etudiants en thèse: Vivien Despax

Récents étudiants en thèse : Thomas Gerber

Présentation :

Voici quelques-uns des thèmes étudiés en théorie des représentations par les membres de l'axe d'algèbre:

1: Représentations des groupes de Coxeter et de certaines de leurs déformations (algèbre de Hecke), ensembles basiques et matrices de décomposition (T. Gerber & C. Lecouvey):

La théorie des représentations des groupes sur un corps de caractéristique nulle (par exemple sur C) et très bien connue depuis un sièce grâce notamment aux travaux de Frobenius et Schur. En caractéristique positive en revanche, la situation se complique énormément. Il n'existe pas par exemple à l'heure actuelle de formule explicite pour calculer les dimensions des représentations du groupe symétrique sur Z/pZ. Un des obstacles majeur est que la théorie des représentations en caractéristique p n'est plus semi-simple: les représentations ne se décomposent plus en somme directe de représentations irréductibles. Cette décomposition doit être remplacée par une notion de suite de décomposition (de type Jordan-Hölder). Les coefficients qui apparaissent dans ces suites lorsque, partant d'un module simple encaractéristique 0, on "restreint" les scalaires en caractéristique p forment la matrice de décomposition du groupe (ou de son algèbre de groupe) considéré.  Déterminer un paramétrage (ensemble basique) des colonnes de cette matrice (autrement dit des modules simples en caractéristiques positive) et déterminer ses coefficients est actuellement un problème central en théorie des représentations.

Pour le groupe symétrique S(n) on connaît un ensemble basique: il est constitué des partitions sans parts répétées p fois ou plus (partitions dites p-régulières). En revanche, on ne sait pas calculer la matrice de décomposition.

De façon générale, pour certains groupes de réflexions (groupes de Weyl et de type G(r,1,n) notamment), il existe des déformations (algèbres de Ariki-Koike) de l'algèbre de groupe qui, lorsque les paramètres de déformation se spécialisent en une racine p-ième de l'unité, donnent une approximation de la théorie des représentations du groupe en caractéristique p. Ariki a démontré qu'il devient alors possible de calculer des ensembles basiques et les matrices de décomposition associées à ces  algèbres spécialisées en utilisant la théorie des bases canoniques de Kashiwara-Lusztig.

2: Représentations des algèbres de Lie et des groupes quantiques, bases canoniques et cristallines (Thomas Gerber & C. Lecouvey).

Les groupes quantiques (qui sont en fait des algèbres) sont des déformations à un paramètre, disons v,  des algèbres enveloppantes des algèbres de Lie (et plus généralement des algèbres de Kac-Moody). Les bases canoniques on été introduites au début des années 90 par Kashiwara et Lusztig. Ce sont des bases particulières des modules de plus haut poids d'un groupe quantique. Lorsque v tend vers 1, ces bases donnent des bases des représentations de l'algèbre de Lie sous-jacente. Elles possèdent également une structure combinatoire très riche qui peut peut être étudiée via la notion de base cristalline (Kashiwara) ou par le modèle des chemins (Littelmann). À chaque représentation de plus haut poids est en fait associée un graphe : son graphe cristallin. Celui-ci encode de nombreuses informations sur la représentations (sa dimension, celle de ces espaces de poids etc.). Grâce au théorème d'Ariki, les ensembles basiques évoqués dans le thème 1 apparaissent notamment comme les sommets du graphe cristallin associée à une représentation d'un groupe quantique de type A affine. La spécialisation v=1 dans les bases canoniques permet quant-à elle de calculer les matrices de décompositions des algèbres de Ariki-Koike.

Le cas des systèmes de racines affines est également très intéressant car il existe alors des représentations de dimension finie qui ne sont pas de plus haut poids (modules de type Kirillov-Reshetikhin). Pour les systèmes affines de type classique, on sait que ces modules admettent des graphes cristallins. Ces derniers sont munis d'une statistique naturelle donnée par la fonction d'énergie. On a pu montrer que cette statistique permettait d'obtenir une description combinatoire de certains polynômes de Kazhdan-Lusztig (voir le thème 3).

3:Théorie de Kazhdan-Lusztig, cellules de Kazhdan-Lusztig (Jérémie Guilhot).


Les  algèbres de Hecke apparaissent naturellement dans la théorie des représentations des groupes réductifs sur des corps finis ou p-adiques comme algèbres d'endomorphismes de certaines représentations induites. C'est pourquoi comprendre leurs représentations est une question de grand intérêt. Les algèbres de Hecke peuvent être définies sans faire référence aux groupes réductifs, simplement en terme de générateurs et relations associés à un groupe de Coxeter et à une fonction de poids.

L'étude des représentations des algèbres de Hecke a connu un développement sans précédent lorsque Kazhdan et Lusztig ont introduit la notion de cellules dans un groupe de Coxeter quelconque. Cette construction permet d'associer à chaque cellule un module de l'algèbre de Hecke muni d'une base "canonique" indexée par les éléments de la cellule. Dans le cas où la fonction de poids est constante sur les générateurs du groupe de Coxeter, cette base admet une interprétation géométrique en terme de cohomologie d'intersection. De ce fait, la théorie de Kazhdan-Lusztig est beaucoup plus développée dans le cas des paramètres égaux.

Citons deux exemples d'applications de la théorie de Kazhdan-Lusztig :
- dans le cas du groupe symétrique, les représentations associée aux cellules permettent de construire toutes les représentations irréductibles (en caractéristique 0);
- dans le cas des groupes de Weyl finis, cette théorie est un ingrédient essentiel pour montrer que les algèbres de Hecke sont cellulaires.

Dans ce contexte, l'objectif de mes travaux est double. D'une part apporter une contribution au développement de nouvelles méthodes, complémentaires aux méthodes géométriques pour étudier la théorie de Kazhdan-Lusztig dans le cas général des paramètres inégaux (je m'intéresse particulièrement à la décomposition en cellules des groupes de Weyl) et d'autre part étudier le lien entre les cellules de Kazhdan-Lusztig dans les groupes de Weyl affines et les répresentations des algèbres de Hecke associées, via notamment la notion de cellularité.

4: Théorie des invariants non commutatifs (Vincent Beck).

L'étude des anneaux de matrices génériques (algèbres engendrées par des matrices dont les coefficients sont des indéterminées) s'est developpée sous l'impulsion de Procesi, Drenski et Formanek. L'action d'un sous-groupe fini du groupe linéaire sur les générateurs de l'algèbre détermine la sous-algèbre des invariants.  
Parmi les questions majeures de ce domaine se posent ainsi la détermination des séries de Poincaré des invariants et des structures des algèbres des matrices
génériques et de celle des invariants (propriétés de finitude, détermination de générateurs et des relations associées...).
Le cas de l'algèbre des matrices de taille 2 engendrées par deux matrices est particulièrement intéressant. En effet, un théorème de Formanek et Schofield assure que si le groupe fini est un sous-groupe de SL(2) alors les invariants sont de type fini. On peut ainsi, grâce à la classification des sous-groupes finis de SL(2), envisager de déterminer des familles de générateurs des invariants et les relations les liant.
 

5: Cohomologie des algèbres de Hopf et algèbres de groupes (Vincent Beck).

Bouc a décrit une structure de foncteur de Green sur la cohomologie de Hochschild d'une algèbre de groupe à partir de celle sur la cohomologie standard et de la construction de Dress pour les foncteurs de Green. Parmi les questions ouvertes sur ce sujet, il s'agit de comprendre comment le crochet de Gerstenhaber peut s'interpréter dans le language des foncteurs de Green et aussi de voir si les résultats peuvent s'étendre aux algèbres de Hopf.
Par ailleurs, toujours dans l'idée d'étendre aux algèbres de Hopf des résultats connus pour les algèbres de groupes, on s'intéresse aux modules cohomologiquement triviaux, ce qui permettrait éventuellement de dégager une notion de sous-algèbre de Sylow pour les algèbres de Hopf ou une sous-classe d'algèbres de Hopf.

6: Théorie des représentations des groupes et algèbres et étude de marches aléatoires conditionnées (C. Lecouvey en collaboration avec E. Lesigne et Marc Peigné de l'axe Probabilités et théorie ergodique & Vivien Despax).

Nous avons utilisé la théorie des bases cristallines et le modèle des chemins de Littelman pour généraliser des résultats de Neill O'Connell donnant la loi de la marche simple multidimensionnelle (les transitions possibles sont les vecteurs de la base standard d'un espace euclidien de dimension n) conditionnée à rester dans le cône des points à coordonnées décroissantes et positives (au sens large). Les transitions possibles dans nos travaux sont les poids associées à une représentation irréductible d'une algèbre de Lie ou de Kac-Moody. Le cas traité par O'Connell est donc celui de la représentation vectorielle de l'algèbre sl(n). Lorsque la repésentation considérée n'est pas minuscule, le bon objet à étudier n'est plus une marche aléatoire mais plutôt un processus à temps continu dont les valeurs aux temps entiers forment une marche aléatoire. Nous obtenons dans tous ces cas la loi du processus conditionné associé ansi que des formules explicites pour qu'il reste prisonnier dans la chambre de Weyl du système de racines considéré. Nous montrons également que cette loi coïncide avec celle obtenue en appliquant au processus initial une transformation trajectorielle généralisant la transformée de Pitmann.

Les matrices de transition associées s'explicitent à l'aide des caractères des représentations de l'algèbre spécialisés en des valeurs dépendantes de la loi du processus. Elles conduisent à des comportements asymptotiques pour certaines multiplicités apparaissant dans des puissances tensorielles de représentations obtenus ici par des méthodes probabilistes.