Thème «Combinatoire algébrique »

Chercheurs :

Vincent Beck Thomas Gerber, Jérémie Guilhot & Cédric Lecouvey

Présentation :

 

Les thèmes abordés sont parmi les suivants:

1: Dénombrement de chemins dans un réseau.

2: Pré-ordres, ordres et graphes associés.

3: Théorie additive, généralisations de théorèmes de type Kneser ou Plünnecke-Rusza (Vincent Beck et Cédric lecouvey).

La théorie additive des nombres concerne à l'origine l'étude des sous-ensembles d'entiers et par extension celles de sous-ensembles de groupes. Une question classique concerne l'évaluation du cardinal de l'ensemble A+B constitué par toutes les sommes a+b où a et b ont respectivement des éléments des sous-ensembles A et B d'un groupe G dont les cardinaux sont connus. On peut bien sûr considérer un nombre quelconque de sous-ensembles ou les sommes itérées A+....+A du même sous-ensemble. Lorsque G est abélien le théorème de Kneser donne une minoration du cardinal des itérés de A alors que celui de Plünnecke-Rusza en fournit une majoration. La situation est beaucoup plus compliquée dans le cas non abélien où il existe néanmoins des résultats plus faibles dus notamment à Hamidoune, Kemperman, Olson, Ruzsa, Tao et beaucoup d'autres.

La plupart de ces théorèmes possèdent une version linéaire où l'on remplace la notion de sous-ensemble dans un groupe par celle de sous-espace dans une algèbre ou un corps et celle de cardinal par celle de dimension. C'est notamment le cas du théorème de Kneser (Hou Leung et Xi) ainsi que du théorème de Plünnecke Rusza. Ces résultats linéaires redonnent en particulier une preuve des résultats pour les groupes en utilisant la correspondence de Galois ou l'algèbre du groupe.

 

4: Combinatoire des mots, monoïdes plaxiques, correspondance de type Robinson-Schensted (Cédric Lecouvey & Thomas Gerber).

Les correspondances (il y a différentes versions et variantes) de type Robinson-Schensted constituent un outil central en combinatoire algébrique lié au système de racines de type A. Elles permettent notamment 

-  de déterminer les cellules de Kazhdan-Lusztig du groupe symétrique (voir le thème 3 en théorie des représentations),

- de calculer la transformée de Pitmann généralisée (thème 4 en théorie des représentations) pour la marche simple

- de déterminer les composantes connexes des graphes cristallins associés au groupe quantique de type A et de préciser lesquelles sont isomorphes en tant que graphes (thème 2 en théorie des représentations)

Il existe des analogues de ces correspondances pour les autres systèmes de type classique. Ils sont liés à la théorie des bases cristallines et à l'existence de monoïdes particuliers définis à partir de relations simples généralisant le monoïde plaxique de Lascoux et Schützenberger. Le tout est relié à une notion de tableau généralisant celle de tableau semi-standard et à l'existence d'un algorithme d'insertion adapté.

Récemment Thomas Gerber a montré qu'il était possible de définir un analogue de cet algorithme d'insertion dans le cas affine de type A lui aussi relié à la combinatoire des cristaux de Kashiwara et à une généralisation simple de la notion de tableau semi-standard.