Thème « Géométrie et Topologie »

Chercheurs :

Marina Ville, Steve Karam

Présentation :

Topologie différentielle des surfaces (éventuellement minimales) dans les variétés de dimension 4. En ayant comme référence les courbes dans les surfaces complexes, Marina Ville travaille sur des questions du type: lorsqu'une suite de surfaces plongées Mn dans une variété de dimension 4 dégénère en une surface ramifiée M, quel est le lien entre la singularité de M et la différence de genre entre les Mn et M ?

Systole, volume, entropie et influence de la topologie. Pour une variété riemannienne fermée non simplement connexe M, la systole est l’infimum des longueurs des lacets non contractiles. Le volume systolique de M est l’infimum des volumes des métriques riemanniennes sur M à systole unité. S. Sabourau a obtenu des bornes sur le volume systolique prenant en compte la topologie. En particulier, il a relié le volume systolique des variétés asphériques à leur entropie minimale, ainsi qu’à l’entropie algébrique de leur groupe fondamental. Il a étudié le comportement asymptotique du volume systolique des sommes connexes de variétés et des suites de variétés hyperboliques.

Par ailleurs,
S. Sabourau a montré que l’entropie volumique d’une surface fermée à systole fixée est uniformément majorée, répondant ainsi à une question de A. Katok. Il a aussi répondu positivement à une question de M. Gromov sur le comportement asymptotique de la systole séparante (i.e. systole du groupe des commutateurs) en montrant que la systole séparante des surfaces riemanniennes de grand genre satisfait le même type d’inégalité systolique asymptotique que la systole homotopique.

Métriques extrémales. En collaboration avec M. Katz (Bar-Ilan, Israël), S. Sabourau a obtenu une inégalité systolique optimale pour les surfaces à courbure négative de genre deux et a montré que toute surface de genre deux vérifie l’inégalité systolique de Loewner sur les tores. Il a également montré que la sphère de Calabi-Croke, obtenue en recollant deux triangles plats équilatéraux, est un extremum local pour la longueur de la plus courte géodésique fermée parmi les sphères d’aire fixée, pour la distance de Lipschitz, résultat qui s'étend aux métriques de Finsler. Récemment, il a démontré un résultat de rigidité systolique partiel concernant les surfaces plates à singularités coniques de genre trois de Calabi.

Inégalités diastoliques et isopérimétriques. F. Balacheff (Lille) et S. Sabourau ont obtenu une inégalité qualitativement optimale entre la diastole, définie à l’aide d’un procédé de minimax sur l’espace des 1-cycles fournissant une géodésique fermée, et l’aire des surfaces riemanniennes : toute surface peut être balayée par des familles de lacets dont la longueur maximale est contrôlée par l’aire de la surface.

Théorie géométrique des groupes. En collaboration avec Y. Rudyak (Floride), S. Sabourau a obtenu un résultat de finitude pour l’aire systolique des groupes qui répond à une question de M.Gromov : il n’existe qu’un nombre fini de facteurs non-libres pour la décomposition de Grushko des groupes fondamentaux des 2-complexes d’aire systolique uniformément bornée.

Trajectoires de gradient des fonctions convexes. A. Daniilidis (Barcelone), O. Ley (Rennes) et S. Sabourau ont montré que les trajectoires de gradient des fonctions convexes ou quasiconvexes sur un domaine borné du plan sont de longueur finie, prolongeant ainsi un résultat de H. Brézis. Ils ont également montré que la conjecture de R. Thom sur les trajectoires de gradient des fonctions analytiques ne s’étend pas aux fonctions convexes : leur trajectoires peuvent spiraler une infinité de fois autour de leur unique point de minimum.