Thème « Analyse sur les variétés et Géométrie spectrale »

Chercheurs :

Ahmad El Soufi, Saïd Ilias, Emmanuel Humbert, Romain Gicquaud, Amine Aribi,  Safaa El Sayed, The-Cang Nguyen.



Analyse sur les variété :

De nombreux problèmes de géométrie riemannienne et de relativité générale nécessitent l'étude d'équations aux dérivées partielles, par exemple pour montrer l'existence de métriques à courbure scalaire constante dans la classe conforme d'une métrique donnée (Problème de Yamabe), ou, plus récemment, l'utilisation du flot de Ricci dans la preuve de la conjecture de Poincaré, ou encore dans l'étude du problème de Cauchy en relativité générale.

Géométrie des variétés asymptotiquement hyperboliques:  Les variétés asymptotiquement hyperboliques (AH) forment une classe de variétés riemanniennes non compactes obtenues en partant d'une variété riemannienne compacte à bord en envoyant le bord à l'infini à l'aide d'un facteur conforme. Elles se sont révélés très utiles en géométrie conforme mais elles sont également des surfaces de Cauchy naturelles en relativité générale. Dans des travaux en collaboration avec E. Bahuaud (USA), R. Gicquaud étudie dans quelle mesure il est possible de relier la définition de ces variétés à celle, plus naturelle, de variété non compacte dont la courbure se comporte asymptotiquement comme celle de l'espace hyperbolique.

Equations de contrainte en relativité générale: L'étude du problème de Cauchy en relativité générale révèle que les données initiales ne peuvent pas être choisies arbitrairement: la donnéee d'ordre zéro, la métrique induite sur la surface de Cauchy, et la donné du premier ordre, la seconde forme fondamentale du plongement de la surface de Cauchy dans l'espace-temps solution des équations d'Einstein, sont liées par des équations dites de contrainte. Se pose alors la question de savoir comment construire des paires (métrique induite, seconde forme) solutions de ces équations. L'une des méthodes les plus importantes est la méthode conforme. Les équations auxquelles elle conduit sont une extension de l'équation de Yamabe. Dans des travaux en collaboration, R. Gicquaud et E. Humbert étudient les équations de contrainte à courbure moyenne non constante. Ils montrent en particulier comment la non-existence de solution non triviale à une certaine équation limite implique l'existence de solutions aux équations de la méthode conforme.


Géométrie spectrale :

Sur une variété riemannienne compacte (éventuellement à bord non vide), les valeurs propres  du laplacien (avec conditions de Dirichlet ou de Neumann sur le bord si celui-ci est non vide), fournissent une suite d'invariants globaux. L'objet de la géométrie spectrale est l'étude des liens entre ces invariants et la géométrie de la variété.

Géométries extrémales:  A. El Soufi, S. Ilias et leurs collaborateurs s'intéressent à l'optimisation des valeurs propres  en les considérant comme fonctionnelles sur l'espace des métriques riemanniennes, ou sur l'ensemble des domaines d'une variété riemannienne, de volume fixé,  et introduisent une notion de métrique (resp. domaine) critique qu'ils relient à l'existence d'immersions minimales ou  d'applications harmoniques dans les sphères, etc. Ceci leur permet d'identifier et, dans certains cas, classifier les géométries extrémales possibles dans les problèmes d'optimisation de valeurs propres.
Par exemple, la caractérisation des métriques extrémales pour la 1ère valeur propre du laplacien sur une bouteille de Klein se ramène à un système dynamique que A. El Soufi, H. Giacomini (équipe de physique théorique) et M. Jazar (Liban) ont analysé. Ceci leur a permis de prouver l'unicité de la métrique extrémale et de répondre ainsi positivement à une conjecture de Jakobson, Nadirashvili et Polterovich.
Dans la thèse de Rola Kiwan, le problème d'optimisation des premières valeurs propres est considéré pour des domaines 2-connexes de l'espace euclidien sous conditions de symétrie (problème de placement optimal d'un obstacle).   


Contrôle des valeurs propres par d'autres invariants géométriques: On sait que toute variété fermée M de dimension au moins 3 admet des métriques riemanniennes de volume 1 et dont la k-ème valeur propre est aussi grande que l'on veut. Quelle est la géométrie de ce type de métriques ?  Par quoi peut-on majorer les valeurs propres ?
En collaboration avec B. Colbois (Suisse) et E. Dryden (USA), A. El Soufi montre que les valeurs propres de la variété riemannienne M sont majorées en fonction du volume et du degré d'intersection de n'importe quelle immersion isométrique de M comme sous-variété d'un espace euclidien (i.e. le nombre de points d'intersection de la sous-variété avec des sous-espaces affines de dimension complémentaire, en position générique).
Dans un travail plus récent, en collaboration avec B. Colbois et A. Girouard, il montre que lorsque M est réalisée comme bord d'un domaine borné, alors les valeurs propres sont majorées en fonction du ratio isopérimétrique du domaine. Ainsi, l'apparition de grandes valeurs propres s'accompagne nécessairement d'un haut degré d'intersection et d'un grand ratio isopérimétrique.


Inégalités universelles:  En collaboration avec  E.Harrell (USA), A. El Soufi et S. Ilias ont établi des inégalités de type Payne-Polya-Weinberger et Yang sur les variétés riemanniennes. Ces inégalités s'appliquent dans un cadre très général dans lequel de très nombreux résultats récents apparaissent comme cas particuliers. Dans un travail récent, O. Makhoul et S. Ilias ont obtenu une nouvelle classe de formules de commutation qui généralise la plupart des formules connues et qui permet, à la différence des autres formules, d'obtenir des inégalités universelles pour des puissances de Laplaciens ainsi que des puissances du Laplacien de Kohn des groupes de Heisenberg.